【2017宁波联考】生成树

题目

【题目背景】
LLJ热愛生成树。

【题目描述】
给出一个结点数为N的无向完全图，即任意结点两两相连，且每条边长为1。LLJ想知道这个图的生成树个数。
但这个数量太大了，LLJ会懒得看，所以他只想看这个数量模K后的结果(若K=0,输出-1即可)
注：生成树定义：在图中节点数为N,边数为N-1的连通子图。

【输入】
输入共一行，两个非负整数N K；

【输出】
输出共一行一个整数，即方案数模K后的结果。

【样例输入及输出】

样例编号	样例输入	样例输出
1	1	10
2	4	13
3	100	23

【数据范围限制】

对于30%的数据： 0≤N≤10；
对于60%的数据： 0≤N≤100；
对于90%的数据： 0≤N≤1,000,000；
对于100%的数据：\(0\leq N\leq 10^{18}\)；\(0\leq K\leq 1,000,000,007\)；

---

题解

这题就是要找不同的有N个节点的树的个数。
乍一看，毫无头绪，我们不妨画图枚举一下吧！

N的值	树的个数
n=0	0
n=1	1
n=2	1
n=3	3
n=4	16
n=5	125
n=6	1296
……	……

我们不难发现一个规律：

设\(a_i\)为n=i时的树的个数，那么
\(a_i=i^{i-2}\)

嗯，问题似乎就解决了，不少心急的同学急忙打了一个for循环的暴力代码，交上去，结果就……

请注意题目中的一句话：

对于100%的数据：\(0\leq N\leq 10^{18}\)；\(0\leq K\leq 1,000,000,007\)；

循环那么多次，不超时才怪！

怎么办？我们就要用一种神奇的东西——快速幂！

◔ ‸◔?快速幂是什么？好吃吗？

顾名思义，快速幂就是快速求\(n^m\)的一种算法。

我们必须知道以下规律：

1. \(n^m=n^a\times n^b=n^{a+b}\space\space(a+b=m)\)
2. \(n^m=n^{2^{(\frac{m}{2})}}\space\space(2\mid m)\)

快速幂的思想就是：

• 先定义一个变量S,初始化为1；
• 当\(2\mid m\)时，就直接把n乘上n，把m除以2，也就是求 \(n^{2^{(\frac{m}{2})}}\)
• 当\(2\not \mid m\)时，就把S乘上n，再把m除以2（要整除），就是求 \(n^{1+{2^{[\frac{m}{2}]}}}\)，也就是\(n\times n^{2^{[\frac{m}{2}]}}\)
• 最后输出S（想一想，为什么）

这样的时间复杂度就为\(O(\log_2n)\)（好快啊）
注意要边做边摸。
下面附上代码：

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
	freopen("st.in","r",stdin);
	freopen("st.out","w",stdout);
	long long n,k,s=1,t;
	scanf("%lld%lld\n",&n,&k);
	if(k==0)
	{
		puts("-1");
		return 0;
	}
	if(n<2)
	{
		if(n==0) puts("0");
		else puts("1");
		return 0;
	}
	t=n-2;n=n%k;
	while(t>0)//快速幂部分
	{
		if(t%2==1) s=(s*n)%k;
		n=(n*n)%k;t=t/2;
	}
	printf("%lld\n",s);
	return 0;
}