天籁数学——数列篇（3）
这一篇说下第二种特征数列，等比数列，同样我们也应该知道它的”基本性质”，“扩充性质”和“判定方法”。
一：基本性质
1：通项公式： an=a1qn-1
2: 前n项和公式： Sn= a1(1-qn)/(1-q)
二： 判定方法
1: an+1/an=q (q是常数) => {an}是等比数列。
2：an=cqn => {an}是等比数列。
3: an+12=an*an+2 => {an}是等比数列。
三：扩充性质
1: an=am*qn-m;
2: 若m+n=p+q 则 aman=apaq;
3: 若{an}是等比数列，若每隔k项取出一项，那么取得的新数列仍是等比数列。
比如： k=3时 a1,a4,a7。
4： 若{an}是等比数列，则arar+1, ar+2ar+3, ar+4ar+5仍然成等比数列。
比如：r=1时 则数列 a1a2, a3a4, a5a6成等比数列。
5: 若{an}是等比数列，则ar+ar+1, ar+s+ar+s+1, ar+2s+ar+2s+1 仍成等比数列。
比如：r=1,s=10 则数列 a1+a2, a11+a12, a21+a22成等比数列。
6: 若{an}是等比数列，Sn是前n项和，则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k仍成等比数列，公比为qk。
四：几种模型问题
1： 我们知道an/an-1=q(常数)时就认为{an}是等比数列，当q=bn时该如何处理，其实模型为an/an-1=bn。
证明： an/a1=(an/an-1)*(an-1/an-2)*(an-2/an-3)....*(a2/a1)
=> an/a1=bn*bn-1*bn-2......b1
=> an=a1*(b1b2b3...bn)
则： 
2: 当数列的递推模型为an=b1an-1+b2an-2，可以看出我们现在要研究的是an, an-1, an-2之间的递归关系。
这种模型可以瞬间秒杀“斐波那契数列问题”。
求解过程如下：
①： 将an,an-1,an-2替换成x2,x,1
则得 x2=b1x+b2，该方程也就是{an}的二阶特征方程，然后解出特征根x1,x2。
②： 
然后将a1,a2代入an后得到一组二元一次方程，求出c1，c2,最后得到an的通项公式。
五：几个小实际应用
1： 斐波那契问题
具体细节就不说了，我们直接看它的递归公式，当a1=1,a2=1， an=an-1+an-2。
解答： 我们用特征方程
首先将an,an-1,an-2替换成x2,x,1，则得到{an} 的一个二阶特征方程为:
x2=x+1 ①
由①得（求根公式）
x1=(1-√5)/2
x2=(1+√5)/2
因为x1!=x2，则
an=c1[(1-√5)/2]n+c2[(1+√5)/2]n ②
又因为a1=a2=1，则
c1[(1-√5)/2]+c2[(1+√5)/2]=1 ③
c1[(1-√5)/2]2+c2[(1+√5)/2]2=1 ④
求解方程得
c1=-(√5/5)
c2=(√5/5)
将c1，c2代入②式可得
an= (-(√5/5)[(1-√5)/2])n+(√5/5)*[(1+√5)/2]n
好了，我们知道通项公式了，想怎么秒杀就怎么秒杀了。
