算法系列15天速成——第十四天 图【上】

 

       今天来分享一下图，这是一种比较复杂的非线性数据结构，之所以复杂是因为他们的数据元素之间的关系是任意的，而不像树那样

被几个性质定理框住了，元素之间的关系还是比较明显的，图的使用范围很广的，比如网络爬虫，求最短路径等等，不过大家也不要胆怯，

越是复杂的东西越能体现我们码农的核心竞争力。

       

      既然要学习图，得要遵守一下图的游戏规则。

一： 概念

       图是由“顶点”的集合和“边”的集合组成。记作：G=（V,E)；

<1> 无向图

       就是“图”中的边没有方向，那么（V1,V2)这条边自然跟（V2，V1）是等价的，无向图的表示一般用”圆括号“。

        

<2> 有向图

       “图“中的边有方向，自然<V1,V2>这条边跟<V2,V1>不是等价的，有向图的表示一般用"尖括号"表示。

             

<3> 邻接点

             一条边上的两个顶点叫做邻接点，比如（V1，V2），（V1，V3），（V1，V5），只是在有向图中有一个“入边，出边“的

       概念，比如V3的入边为V5，V3的出边为V2，V1，V4。

 

<4> 顶点的度

          这个跟“树”中的度的意思一样。不过有向图中也分为“入度”和“出度”两种，这个相信大家懂的。

 

<5> 完全图

         每两个顶点都存在一条边，这是一种完美的表现，自然可以求出边的数量。

        无向图：edges=n(n-1)/2;

        有向图：edges=n(n-1);           //因为有向图是有边的，所以必须在原来的基础上"X2"。

       

<6> 子图

        如果G1的所有顶点和边都在G2中，则G1是G2的子图，具体不说了。

 

<7> 路径，路径长度和回路（这些概念还是比较重要的）

       路径：        如果Vm到Vn之间存在一个顶点序列。则表示Vm到Vn是一条路径。

       路径长度：  一条路径中“边的数量”。

       简单路径：  若一条路径上顶点不重复出现，则是简单路径。

       回路：       若路径的第一个顶点和最后一个顶点相同，则是回路。

       简单回路：  第一个顶点和最后一个顶点相同，其它各顶点都不重复的回路则是简单回路。

 

<8> 连通图和连通分量（针对无向图而言的）

       连通图：     无向图中，任意两个顶点都是连通的则是连通图，比如V1，V2，V4之间。

       连通分量：  无向图的极大连通子图就是连通分量，一般”连通分量“就是”图“本身，除非是“非连通图”，

                       如下图就是两个连通分量。

           

<9> 强连通图和强连通分量（针对有向图而言）

        这里主要注意的是“方向性“，V4可以到V3，但是V3无法到V4，所以不能称为强连通图。

       

<10> 网

        边上带有”权值“的图被称为网。很有意思啊，呵呵。

 

二：存储

     图的存储常用的是”邻接矩阵”和“邻接表”。

     邻接矩阵： 手法是采用两个数组，一个一维数组用来保存顶点信息，一个二维数组来用保存边的信息，

                    缺点就是比较耗费空间。

     邻接表：   改进后的“邻接矩阵”，缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边，但是相比节省空间。

 

三： 创建图

     这里我们就用邻接矩阵来保存图，一般的操作也就是：①创建，②遍历

#region 邻接矩阵的结构图
    /// <summary>
/// 邻接矩阵的结构图
/// </summary>
    public class MatrixGraph
    {
        //保存顶点信息
        public string[] vertex;

        //保存边信息
        public int[,] edges;

        //深搜和广搜的遍历标志
        public bool[] isTrav;

        //顶点数量
        public int vertexNum;

        //边数量
        public int edgeNum;

        //图类型
        public int graphType;

        /// <summary>
/// 存储容量的初始化
/// </summary>
/// <param name="vertexNum"></param>
/// <param name="edgeNum"></param>
/// <param name="graphType"></param>
        public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType)
        {
            this.vertexNum = vertexNum;
            this.edgeNum = edgeNum;
            this.graphType = graphType;

            vertex = new string[vertexNum];
            edges = new int[vertexNum, vertexNum];
            isTrav = new bool[vertexNum];
        }

    }
    #endregion

<1> 创建图很简单，让用户输入一些“边，点，权值"来构建一下图

 #region 图的创建
        /// <summary>
/// 图的创建
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
        public MatrixGraph CreateMatrixGraph()
        {
            Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。");

            var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList();

            MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);

            Console.WriteLine("请输入各顶点信息：");

            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");

                var single = Console.ReadLine();

                //顶点信息加入集合中
                graph.vertex[i] = single;
            }

            Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");

            for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++)
            {
                Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t");

                initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList();

                int start = initData[0];
                int end = initData[1];
                int weight = initData[2];

                //给矩阵指定坐标位置赋值
                graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;

                //如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称
                if (graph.graphType == 1)
                {
                    graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;
                }
            }

            return graph;
        }
        #endregion

 

<2>广度优先

      针对下面的“图型结构”，我们如何广度优先呢？其实我们只要深刻理解"广搜“给我们定义的条条框框就行了。 为了避免同一个顶点在遍历时被多

次访问，可以将”顶点的下标”存放在sTrav[]的bool数组，用来标识是否已经访问过该节点。  

    第一步：首先我们从isTrav数组中选出一个未被访问的节点，如V1。

    第二步：访问V1的邻接点V2，V3，V5，并将这三个节点标记为true。

    第三步：第二步结束后，我们开始访问V2的邻接点V1，V3，但是他们都是被访问过的。

    第四步：我们从第二步结束的V3出发访问他的邻接点V2，V1，V5，V4，还好V4是未被访问的，此时标记一下。

    第五步：我们访问V5的邻接点V1，V3，V4，不过都是已经访问过的。

    第六步：有的图中通过一个顶点的“广度优先”不能遍历所有的顶点，此时我们重复（1-5）的步骤就可以最终完成广度优先遍历。

                

#region 广度优先
        /// <summary>
/// 广度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void BFSTraverse(MatrixGraph graph)
        {
            //访问标记默认初始化
            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                graph.isTrav[i] = false;
            }

            //遍历每个顶点
            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                //广度遍历未访问过的顶点
                if (!graph.isTrav[i])
                {
                    BFSM(ref graph, i);
                }
            }
        }

        /// <summary>
/// 广度遍历具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
        {
            //这里就用系统的队列
            Queue<int> queue = new Queue<int>();

            //先把顶点入队
            queue.Enqueue(vertex);

            //标记此顶点已经被访问
            graph.isTrav[vertex] = true;

            //输出顶点
            Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]);

            //广度遍历顶点的邻接点
            while (queue.Count != 0)
            {
                var temp = queue.Dequeue();

                //遍历矩阵的横坐标
                for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
                {
                    if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)
                    {
                        graph.isTrav[i] = true;

                        queue.Enqueue(i);

                        //输出未被访问的顶点
                        Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]);
                    }
                }
            }
        }
        #endregion

<3> 深度优先

        同样是这个图，大家看看如何实现深度优先，深度优先就像铁骨铮铮的好汉，遵循“能进则进，不进则退”的原则。

        第一步：同样也是从isTrav数组中选出一个未被访问的节点，如V1。

        第二步：然后一直访问V1的邻接点，一直到走头无路的时候“回溯”，路线为V1,V2,V3,V4,V5，到V5的时候访问邻接点V1，发现V1是访问过的，

                   此时一直回溯的访问直到V1。

        第三步： 同样有的图中通过一个顶点的“深度优先”不能遍历所有的顶点，此时我们重复（1-2）的步骤就可以最终完成深度优先遍历。

              

#region 深度优先
        /// <summary>
/// 深度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void DFSTraverse(MatrixGraph graph)
        {
            //访问标记默认初始化
            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                graph.isTrav[i] = false;
            }

            //遍历每个顶点
            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                //广度遍历未访问过的顶点
                if (!graph.isTrav[i])
                {
                    DFSM(ref graph, i);
                }
            }
        }

        #region 深度递归的具体算法
        /// <summary>
/// 深度递归的具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
/// <param name="vertex"></param>
        public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
        {
            Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]);

            //标记为已访问
            graph.isTrav[vertex] = true;

            //要遍历的六个点
            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)
                {
                    //深度递归
                    DFSM(ref graph, i);
                }
            }
        }
        #endregion
        #endregion

 

最后上一下总的代码

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace MatrixGraph
{
    public class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            MatrixGraphManager manager = new MatrixGraphManager();

            //创建图
            MatrixGraph graph = manager.CreateMatrixGraph();

            manager.OutMatrix(graph);

            Console.Write("广度递归:\t");

            manager.BFSTraverse(graph);

            Console.Write("\n深度递归:\t");

            manager.DFSTraverse(graph);

            Console.ReadLine();

        }
    }

    #region 邻接矩阵的结构图
    /// <summary>
/// 邻接矩阵的结构图
/// </summary>
    public class MatrixGraph
    {
        //保存顶点信息
        public string[] vertex;

        //保存边信息
        public int[,] edges;

        //深搜和广搜的遍历标志
        public bool[] isTrav;

        //顶点数量
        public int vertexNum;

        //边数量
        public int edgeNum;

        //图类型
        public int graphType;

        /// <summary>
/// 存储容量的初始化
/// </summary>
/// <param name="vertexNum"></param>
/// <param name="edgeNum"></param>
/// <param name="graphType"></param>
        public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType)
        {
            this.vertexNum = vertexNum;
            this.edgeNum = edgeNum;
            this.graphType = graphType;

            vertex = new string[vertexNum];
            edges = new int[vertexNum, vertexNum];
            isTrav = new bool[vertexNum];
        }

    }
    #endregion

    /// <summary>
/// 图的操作类
/// </summary>
    public class MatrixGraphManager
    {
        #region 图的创建
        /// <summary>
/// 图的创建
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
        public MatrixGraph CreateMatrixGraph()
        {
            Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。");

            var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList();

            MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);

            Console.WriteLine("请输入各顶点信息：");

            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");

                var single = Console.ReadLine();

                //顶点信息加入集合中
                graph.vertex[i] = single;
            }

            Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");

            for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++)
            {
                Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t");

                initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList();

                int start = initData[0];
                int end = initData[1];
                int weight = initData[2];

                //给矩阵指定坐标位置赋值
                graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;

                //如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称
                if (graph.graphType == 1)
                {
                    graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;
                }
            }

            return graph;
        }
        #endregion

        #region 输出矩阵数据
        /// <summary>
/// 输出矩阵数据
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void OutMatrix(MatrixGraph graph)
        {
            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)
                {
                    Console.Write(graph.edges[i, j] + "\t");
                }
                //换行
                Console.WriteLine();
            }
        }
        #endregion

        #region 广度优先
        /// <summary>
/// 广度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void BFSTraverse(MatrixGraph graph)
        {
            //访问标记默认初始化
            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                graph.isTrav[i] = false;
            }

            //遍历每个顶点
            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                //广度遍历未访问过的顶点
                if (!graph.isTrav[i])
                {
                    BFSM(ref graph, i);
                }
            }
        }

        /// <summary>
/// 广度遍历具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
        {
            //这里就用系统的队列
            Queue<int> queue = new Queue<int>();

            //先把顶点入队
            queue.Enqueue(vertex);

            //标记此顶点已经被访问
            graph.isTrav[vertex] = true;

            //输出顶点
            Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]);

            //广度遍历顶点的邻接点
            while (queue.Count != 0)
            {
                var temp = queue.Dequeue();

                //遍历矩阵的横坐标
                for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
                {
                    if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)
                    {
                        graph.isTrav[i] = true;

                        queue.Enqueue(i);

                        //输出未被访问的顶点
                        Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]);
                    }
                }
            }
        }
        #endregion

        #region 深度优先
        /// <summary>
/// 深度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
        public void DFSTraverse(MatrixGraph graph)
        {
            //访问标记默认初始化
            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                graph.isTrav[i] = false;
            }

            //遍历每个顶点
            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                //广度遍历未访问过的顶点
                if (!graph.isTrav[i])
                {
                    DFSM(ref graph, i);
                }
            }
        }

        #region 深度递归的具体算法
        /// <summary>
/// 深度递归的具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
/// <param name="vertex"></param>
        public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
        {
            Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]);

            //标记为已访问
            graph.isTrav[vertex] = true;

            //要遍历的六个点
            for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
            {
                if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)
                {
                    //深度递归
                    DFSM(ref graph, i);
                }
            }
        }
        #endregion
        #endregion

    }
}

 

代码中我们构建了如下的“图”。