20230406 9.1. 简单排序

前提

void X_Sort ( ElementType A[], int N )

• 大多数情况下，为简单起见，讨论从小到大的整数排序
• N是正整数
• 只讨论基于比较的排序（> = < 有定义）
• 只讨论内部排序
• 稳定性：任意两个相等的数据，排序前后的相对位置不发生改变
• 没有一种排序是任何情况下都表现最好的

简单排序

冒泡排序

void Bubble_Sort( ElementType A[], int N ) 
{ 
    for ( P=N-1; P>=0; P-- ){
        flag = 0;
        for( i=0; i<P; i++ ) { /* 一趟冒泡 */
            if ( A[i] > A[i+1] ) {
                Swap(A[i], A[i+1]); 
                flag = 1; /* 标识发生了交换 */
            }
        }
        if ( flag==0 ) break; /* 全程无交换 */
    }
}

• 最好情况：顺序 $T = O( N )$
• 最坏情况：逆序 $T = O( N^2 )$
• 稳定

插入排序

void Insertion_Sort( ElementType A[], int N ) 
{ 
    for ( P=1; P<N; P++ ) { 
        Tmp = A[P]; /* 摸下一张牌 */
        for ( i=P; i>0 && A[i-1]>Tmp; i-- ) {
            A[i] = A[i-1]; /* 移出空位 */
        }
        A[i] = Tmp; /* 新牌落位 */
    }
}

• 最好情况：顺序 $T = O( N )$
• 最坏情况：逆序 $T = O( N^2 )$
• 稳定

时间复杂度下界

• 对于下标i<j，如果A[i]>A[j]，则称(i,j)是一对 逆序对(inversion)
• 问题：序列{34, 8, 64, 51, 32, 21}中有多少逆序对？
  • (34, 8) (34, 32) (34, 21) (64, 51) (64, 32) (64, 21) (51, 32) (51, 21) (32, 21)
• 交换2个相邻元素正好消去1个逆序对！
• 插入排序：T(N, I) = O( N+I )
  • 如果序列基本有序，则插入排序简单且高效
• 定理：任意N个不同元素组成的序列平均具有 N ( N - 1 ) / 4 个逆序对
• 定理：任何仅以交换相邻两元素来排序的算法，其平均时间复杂度为 $Ω ( N^2 )$
• 这意味着：要提高算法效率，我们必须
  • 每次消去不止1个逆序对！
  • 每次交换相隔较远的2个元素！