20230329 6.1. 什么是图

什么是“图” （Graph）

• 表示“多对多”的关系
• 包含
  • 一组顶点：通常用 V (Vertex) 表示顶点集合
  • 一组边：通常用 E (Edge) 表示边的集合
    • 边是顶点对：(v, w) ∈ E ，其中 v, w ∈ V
    • 有向边 <v, w> 表示从v指向w的边（单行线）
    • 不考虑重边和自回路

抽象数据类型定义

• 类型名称：图（Graph）
• 数据对象集：G(V,E)由一个非空的有限顶点集合V和一个有限边集合E组成。
• 操作集：对于任意图 G ∈ Graph，以及 v ∈ V, e ∈ E
  • Graph Create()：建立并返回空图；
  • Graph InsertVertex(Graph G, Vertex v)：将v插入G；
  • Graph InsertEdge(Graph G, Edge e)：将e插入G；
  • void DFS(Graph G, Vertex v)：从顶点v出发深度优先遍历图G；
  • void BFS(Graph G, Vertex v)：从顶点v出发宽度优先遍历图G；
  • void ShortestPath(Graph G, Vertex v, int Dist[])：计算图G中顶点v到任意其他顶点的最短距离；
  • void MST(Graph G)：计算图G的最小生成树；

怎么在程序中表示一个图

邻接矩阵

邻接矩阵G[N][N] —— N个顶点从0到N-1编号

G[i][j] =

• 1 ：若<vi,vj> 是G中的边
• 0 ：其他情况

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对于无向图的存储，怎样可以省一半空间？

用一个长度为N(N+1)/2的1维数组A存储{G(0,0),G(1,0),G(1,1),……,G(n-1,0),…,G(n-1,n-1)}，则G(i,j)在A中对应的下标是：

\[i*(i+1)/2 + j \]

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邻接矩阵的好处：

• 直观、简单、好理解
• 方便检查任意一对顶点间是否存在边
• 方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）
• 方便计算任一顶点的“度”（从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”）
  • 无向图：对应行（或列）非0元素的个数
  • 有向图：对应行非0元素的个数是“出度”；对应列非0元素的个数是“入度”

有什么不好？

• 浪费空间 —— 存稀疏图（点很多而边很少）有大量无效元素
  • 对稠密图（特别是完全图）还是很合算的
• 浪费时间 —— 统计稀疏图中一共有多少条边

代码实现

public class ArrayGraph {
    /**
     * 节点个数
     */
    int size;
    
    int[][] edges;
}    

邻接表

G[N]为指针数组，对应矩阵每行一个链表，只存非0元素

一定要够稀疏才合算

• 方便找任一顶点的所有“邻接点”
• 节约稀疏图的空间
  • 需要N个头指针 + 2E个结点（每个结点至少2个域）
• 方便计算任一顶点的“度”？
  • 对无向图：是的
  • 对有向图：只能计算“出度”；需要构造“逆邻接表”（存指向自己的边）来方便计算“入度”
• 方便检查任意一对顶点间是否存在边？
  • 不方便

public class LinkedGraph {
    /**
     * 节点个数
     */
    int size;

    LinkedGraphNode[] edges;

}