20230314 3.2. 二叉树

二叉树的定义

二叉树T：一个有穷的结点集合。

• 这个集合可以为空
• 若不为空，则它是由根结点和称为其左子树TL和右子树TR的两个不相交的二叉树组成。

二叉树具体五种基本形态：

• 空二叉树；
• 只有根结点的二叉树；
• 只有根结点和左子树TL的二叉树；
• 只有根结点和右子树TR的二叉树；
• 具有根结点、左子树TL和右子树TR的二叉树。

二叉树的子树有左右顺序之分

几种特殊的二叉树

• 斜二叉树(Skewed Binary Tree)、退化二叉树
  • 一条线的形状
• 完美二叉树(Perfect Binary Tree) / 满二叉树(Full Binary Tree）
  • 所有子节点都是满的
• 完全二叉树(Complete Binary Tree)
  • 子节点不一定满，但是从上到下，从左到右和满二叉树相同

几个重要性质

• 一个二叉树第 i 层的最大结点数为：\(2^{i-1}\) (\(i \ge 1\))
• 深度为k的二叉树有最大结点总数为： \(2^k - 1\) (\(k \ge 1\))
• 对任何非空二叉树 T，若n0表示叶结点的个数、n2是度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系 \(n0 = n2 +1\)

抽象数据类型定义

类型名称：二叉树

数据对象集：一个有穷的结点集合。

若不为空，则由根结点和其左、右二叉子树组成。

操作集： BT ∈ BinTree, Item ∈ ElementType，重要操作有：

• BinTree CreatBinTree( )：创建一个二叉树
• Boolean IsEmpty( BinTree BT )： 判别BT是否为空
• void Traversal( BinTree BT )：遍历，按某顺序访问每个结点

四种常用的遍历方法：

• void PreOrderTraversal( BinTree BT )：先序----根、左子树、右子树；
• void InOrderTraversal( BinTree BT )： 中序---左子树、根、右子树；
• void PostOrderTraversal( BinTree BT )：后序---左子树、右子树、根
• void LevelOrderTraversal( BinTree BT )：层次遍历，从上到下、从左到右

存储结构

顺序存储结构

按从上至下、从左到右顺序存储，适合完全二叉树，一般二叉树也可以采用这种结构，但会造成空间浪费

n个结点的完全二叉树的结点父子关系：

• 非根结点（序号 i > 1）的父结点的序号是 i/2
• 结点（序号为 i ）的左孩子结点的序号是 2i， （若 \(2*i \le n\)，说明有左孩子）;
• 结点（序号为 i ）的右孩子结点的序号是 2i+1， （若 \(2*i+1 \le n\)，说明有右孩子）;

链表存储

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode {
    ElementType Data;
    BinTree Left;
    BinTree Right;
}