20230303 2.1. 线性表及其实现

如何表示多项式?

\[f(x)=a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n \]

方法1：顺序存储结构直接表示

\(a[i]\) ：项 \(x^i\) 的系数 \(a_i\)

例如：

\[f (x) =4x^5-3x^2+1 \]

下标i	0	1	2	3	4	5
a[i]	1	0	-3	0	0	4

问题：

• 浪费空间，例如 \(x+3x^{2000}\)

方法2：顺序存储结构表示非零项

每个非零项 \(a_ix^i\) 涉及两个信息：系数 \(a_i\) 和指数 i 可以将一个多项式看成是一个 ( \(a_i\) , i ) 二元组的集合。

下标i	0	1	2
系数 \(a^i\)	4	-3	1
指数i	5	2	0

按指数大小有序存储！

方法3：链表结构存储非零项

链表中每个结点存储多项式中的一个非零项，包括 系数 和 指数 两个数据域 以及 一个 指针域

coef	expon	link

@Data
public class Polynomial {
    /**
     * 系数
     */
    private int coef;

    /**
     * 指数
     */
    private int expon;


    private Polynomial link;
}

线性表

线性表(Linear List) ：由 同类型数据元素 构成 有序序列 的线性结构

• 表中元素个数称为线性表的 长度

• 线性表没有元素时，称为 空表

• 表起始位置称 表头 ，表结束位置称 表尾

抽象数据类型描述

类型名称：线性表（List）

数据对象集：线性表是 n (≥0)个元素构成的有序序列( a1 , a2 , ,an )

操作集：线性表L ∈ List，整数i表示位置，元素X ∈ ElementType，

线性表基本操作主要有：

1. List MakeEmpty() ：初始化一个空线性表L；

2. ElementType FindKth( int K, List L ) ：根据位序K，返回相应元素 ；

3. int Find( ElementType X, List L )：在线性表L中查找X的第一次出现位置；

4. void Insert( ElementType X, int i, List L)：在位序i前插入一个新元素X；

5. void Delete( int i, List L )：删除指定位序i的元素；

6. int Length( List L )：返回线性表L的长度n。

顺序存储实现

利用数组的连续存储空间顺序存放线性表的各元素

下标i	0	1	...	i-1	i	...	n-1 (Last)	...	MAXSIZE-1
Data	\(a_1\)	\(a_2\)	...	\(a_i\)	\(a_{i+1}\)	...	\(a_n\)	...	-

public class List {
    private Object[] data;
    private int maxSize;
    private int last;
}

参考 java.util.ArrayList

链式存储实现

不要求逻辑上相邻的两个元素物理上也相邻；通过“链”建立起数据元素之间的逻辑关系。

@Data
public class LNode {
    private Object data;
    private LNode next;
}

广义表

给定二元多项式：

\[P(x,y)=9x^{12}y^2+4x^{12}+15x^8y^3-x^8y+3x^2 \]

【分析】 可以将上述二元多项式看成关于x 的一元多项式

\[P(x,y)=(9y^2+4)x^{12}+(15y^3-y)x^8+3x^2 \]

所以，上述二元多项式可以用“复杂”链表表示为：

广义表(Generalized List)

• 广义表是线性表的推广

• 对于线性表而言， n个元素都是基本的单元素；

• 广义表中，这些元素不仅可以是单元素也可以是另一个广义表。

@Data
public class GNode {
    /**
     * 标志域：0表示结点是单元素，1表示结点是广义表
     */
    private int tag;

    /**
     * 指向后继结点
     */
    private GNode next;

    @Data
    public static class URegion {
        Object data;
        GNode sub;
    }

}

多重链表

多重链表：链表中的节点可能同时隶属于多个链

• 多重链表中结点的指针域会有多个，如前面例子包含了Next和SubList两个指针域；

• 但包含两个指针域的链表并不一定是多重链表，比如在双向链表不是多重链表。

多重链表有广泛的用途：

• 基本上如树、图这样相对

• 复杂的数据结构都可以采用多重链表方式实现存储。

例题

十字链表

矩阵可以用二维数组表示，但二维数组表示有两个缺陷：

• 一是数组的大小需要事先确定，

• 对于“稀疏矩阵 ”，将造成大量的存储空间浪费。

【分析】 采用一种典型的多重链表—— 十字链表 来存储稀疏矩阵

• 只存储矩阵非0元素项

  • 结点的数据域：行坐标Row、列坐标Col、数值Value

• 每个结点通过两个指针域，把同行、同列串起来;

  • 行指针（或称为向右指针）Right

  • 列指针（或称为向下指针）Down

• 用一个标识域Tag来区分头结点和非0元素结点：

• 头节点的标识值为“Head”，矩阵非0元素结点的标识值为“Term”。

多项式加法运算

\[P1=3x^5+4x^4-x^3+2x-1 \newline P2=2x^4+x^3-7x^2+x \newline P=3x^5+6x^4-7x^2+3x-1 \]

采用不带头结点的单向链表，按照指数递减的顺序排列各项

Java 关联

• java.util.ArrayList

• java.util.LinkedList

java.util.List 方法

• add, addAll
• clear
• contains, containsAll
• equals
• forEach
• get
• indexOf, lastIndexOf
• isEmpty
• iterator,listIterator, spliterator
• stream, parallelStream
• remove, removeAll, removeIf
• replaceAll
• retainAll
• set
• size
• sort
• subList
• toArray