20200913 第 12 章多路查找树

第 12 章多路查找树

12.1 二叉树与 B 树

12.1.1 二叉树的问题分析

二叉树的操作效率较高，但是也存在问题, 请看下面的二叉树

二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多(比如 1 亿)，就存在如下问题:

问题 1：在构建二叉树时，需要多次进行 i/o 操作(海量数据存在数据库或文件中)，节点海量，构建二叉树时，速度有影响
问题 2：节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度

12.1.2 多叉树

在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点，就是多叉树（multiway tree）
后面我们讲解的 2-3 树， 2-3-4 树就是多叉树，多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，能对二叉树进行优化。
举例说明(下面 2-3 树就是一颗多叉树)

12.1.3 B 树的基本介绍

B 树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少 i/o 读写次数来提升效率。

如图 B 树通过重新组织节点，降低了树的高度.
文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页(页得大小通常为 4k)，这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入
将树的度 M 设置为 1024，在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素, B 树(B+)广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中

12.2 2-3 树

12.2.1 2-3 树基本介绍

2-3 树是最简单的 B 树结构, 具有如下特点:

2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.
有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点.
2-3 树是由二节点和三节点构成的树。

12.2.2 2-3 树应用案例

将数列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树，并保证数据插入的大小顺序。

插入规则:

2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.
有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点
当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆， 先向上拆，如果上层满，则拆本层，拆后仍然需要满足上面 3 个条件。
对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则

12.2.3 其它说明

除了 23 树，还有 234 树等，概念和 23 树类似，也是一种 B 树。如图:

12.3 B 树、 B+树和 B*树

12.3.1 B 树的介绍

B-tree 树即 B 树， B 即 Balanced，平衡的意思。有人把 B-tree 翻译成 B-树，容易让人产生误解。会以为 B-树是一种树，而 B 树又是另一种树。实际上， B-tree 就是指的 B 树。

12.3.2 B 树的介绍

前面已经介绍了 2-3 树和 2-3-4 树，他们就是 B 树(英语： B-tree 也写成 B-树)，这里我们再做一个说明，我们在学习 Mysql 时，经常听到说某种类型的索引是基于 B 树或者 B+树的，如图:

对上图的说明:

B 树的阶：节点的最多子节点个数。比如 2-3 树的阶是 3， 2-3-4 树的阶是 4
B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点
关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据.
搜索有可能在非叶子结点结束
其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

12.3.3 B+树的介绍

B+树是 B 树的变体，也是一种多路搜索树。