[ABC200E] Patisserie ABC 2 题解

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题目大意:

每个蛋糕有三个属性[i,j,k],每个属性取值范围在[1,n],以三个属性和为第一关键字,i 为第二关键字,j 为第三关键字排序,问第 x 个蛋糕是啥?

解题思路:

大致思路是逐个确定其属性。

首先我们确定第 x 个蛋糕的和是啥,我们记 fi 表示和为 i 的蛋糕个数,怎么算 fi 呢?

可以想到插板法,但是注意到每个属性有取值范围,这就不能直接插板法,那么怎么处理呢,我们考虑容斥。

那么 fi 就等于全部的方案,减去有一个属性超出 n 的方案数,加上有两个属性超出 n 的方案数,减去三个属性都超出的方案数。

fi=Ci12C31×Cin12+C32×Ci2×n12Ci3×n22

Tips: 这里三个属性不可能都超出,所以可以不用减去三个属性都超出的方案数。

那么我们确定了第 x 个蛋糕的和 sum,我们确定 i 属性的值。

思考对于每个 i 值,j 的取值范围是多少?

因为 i 值确定,k 的取值范围是 1jn,那么 j 的取值范围不就是 max(1,sumin)jmin(n,sumi1)

那么我们就能够确定 i 值,j 值,这时候 k 值是唯一的。

所以就解决了。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 3e6 + 10;
ll f[N];
ll C(ll n, ll m){//因为m永远是2所以可以化简
    if(n < m) return 0;
    return n * (n - 1) / m;
}
int main(){
    // freopen("cake.in", "r", stdin);
    // freopen("cakxe.out", "w", stdout);
    ll n, x;
    cin >> n >> x;
    for(int i = 1; i <= 3 * n; i++)//对上述式子有所化简
        f[i] = C(i - 1, 2) - 3 * C(i - n - 1, 2) + 3 * C(i - 2 * n - 1, 2);
    ll sum = 0;
    for(int i = 1; i <= 3 * n; i++){
        if(x <= f[i]){
            sum = i;
            break;
        }
        x -= f[i];
    }
    for(ll i = 1; i <= n; i++){
        ll l = max(1ll, sum - i - n), r = min(n, sum - i - 1ll);
        if(l > r)
            continue;
        else{
            if(x <= r - l + 1){//这里确定了i和j,k就能直接算出来
                cout << i << " " << l + x - 1 << " " << sum - i - l - x + 1 << endl;
                break;
            }
            x -= r - l + 1;
        }
    }
    return 0;
}
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