最小顶点覆盖(Minimum Vertex Cover)与最大独立集(Maximum Independent Set)

问题描述：就是在图中找最小的点集，使得覆盖所有边。

和独立集等价：独立集问题：在图中找最大的点集，使得点集内的所有点互不相连。

 

引理：顶点覆盖集和独立集互补。

 

上面这个引理使得这两个问题可以相互规约，从而这两个问题等价。

 

等价问题：给定图G和数k, 问G包含大小至少为k的独立集吗？

为什么等价：如果我们能在多项式时间内给出这个问题的答案，那么我们可以通过二分查找得到最大独立集的size为K。一个点如果是最大独立集中的点，等价于除去这个点后得到的图G'含有一个K-1大小的独立集。那么我们每次选取一个顶点v，然后再问一下G'是否有K-1的独立集，如果回答为yes，那么我们把v加入我们的答案中，如果回答为no, 我们把v的邻居加入答案中（因为如果v不在答案中，v的邻居也不在答案中，那么v和邻居之间的边将不会被覆盖）。所以，如果上述提问的解法是多项式的，那么最大独立集问题也是多项式的。