动态规划之0-1背包问题

问题描述：给定n种物品，1个背包，背包容量为c,每个物品i的价值为vi，重量为wi，如何选择装入物品能使背包的总价值最大？

注意：1）对于每个物品来说，只有两种选择，要么装，要么不装！

           2）不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分物品！

eg.c = 100 3种物品

1：v1 = 50  w1 = 30

2：v2 = 60  w2 = 20

3：v3 = 20  w3 = 70

 形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量A=(x1,x2,…,xn), xi∈{0,1}（0表示“不装”，1表示“装”），1<=i<=n，使得 ∑ wixi≤c【物品的重量和小于背包总容量】而且∑ vixi达到最大。

递归关系：

对于物品有两个选择，要么装，要么不装，对于n个物品，则要做n种选择。现在设m[i][j]是背包容量为j，可选物品为i,i+1,...n【1<=i<=n】的0-1背包问题的最优解，找出递推公式：

<1>：如果放入第i件物品，那么m[i][j]=m[i+1][j-wi]+vi（可选物品变为i+1,i+2,....n，容量减去i的重量，价值加上i的价值）

<2>：如果不放入第i件物品，那么m[i][j]=m[i+1][j]（可选物品变为i+1,i+2,....n，容量不变，价值不变）

设置循环关系时，采用自底向上的动态规划，先考虑当可选物品为最后一件物品（i=n,0<=j<=c)时，m[n][j]的取值（根据j的取值判断能否放下得出m[n][j]的取值），接下来i应该从n-1开始变化到1，表示可选物品物品开始变成i,i+1,...n（同样根据j的取值判断能否放得下得到m[n][j]的取值）

要么放要么不放，所以取以上两种情况的最大值：m[i][j] = max(m[i+1][j-wi]+vi，m[i+1][j]）

代码实现：

 

#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int Knapsack(int n,int c,int w[],int v[],int m[][100]){
    int jMax = min(w[n]-1,c);//如果最小值是w[n]-1【最后一个物品重量减一】，说明以下j在0-jMax都放不下，如果最小值是c,那么也放不下，因为总容量比最后一个物品总容量减一还要小，肯定放不下 
    for(int j=0;j<=jMax;j++)m[n][j]=0;//容量为j【0<=j<=jMax，jMax为第n个物品的重量减一和背包容量c取最小值】，可选物品只有第n个物品的时候，背包肯定放不下，价值全部置0 
    for(int j=w[n];j<=c;j++)m[n][j]=v[n];//放的下，价值置为v[n]，即第n个商品自己的价值 
    for(int i=n-1;i>1;i--){
        int jMax = min(w[i]-1,c);
        for(int j=0;j<=jMax;j++)m[i][j]=m[i+1][j];//放不下，待选物品变为i+1,i+2,...n，价值不变
        for(int j=w[i];j<=c;j++)m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);//放得下，取最大值 
    }
    m[1][c]=m[2][c];
    if(c>=w[1])m[1][c]=max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);
    return m[1][c]; 
}

int main(){
    int n,c;//n件物品、背包容量为c， 
    cin>>n>>c; 
    int w[n],v[n]; 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>w[i]>>v[i];
    } //输入每件物品的重量和价值 
    int m[100][100];
    cout<<Knapsack(n,c,w,v,m); 
    return 0; 
}