poj 2728(最小比率生成树)

参考题解：http://www.cppblog.com/jh818012/articles/167743.html

题意：有n个村庄，村庄在不同坐标和海拔，现在要对所有村庄供水，只要两个村庄之间有一条路即可，

建造水管距离为坐标之间的欧几里德距离（好象是叫欧几里德距离吧），费用为海拔之差

现在要求方案使得费用与距离的比值最小

很显然，这个题目是要求一棵最优比率生成树，



0-1分数规划，0-1分数规划是分数规划的一种特殊情况，分数规划适用于求解最优化问题的，对于求最大的对应解，该理论也有效

这是从网上找到的具体的最优比率生成树的方法的讲解

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概念

有带权图G, 对于图中每条边e[i], 都有benifit[i](收入)和cost[i](花费), 我们要求的是一棵生成树T, 它使得 ∑(benifit[i]) / ∑(cost[i]), i∈T 最大(或最小).

这显然是一个具有现实意义的问题.

 

解法之一 0-1分数规划

设x[i]等于1或0, 表示边e[i]是否属于生成树.

则我们所求的比率 r = ∑(benifit[i] * x[i]) / ∑(cost[i] * x[i]), 0≤i<m .

为了使 r 最大, 设计一个子问题---> 让 z = ∑(benifit[i] * x[i]) - l * ∑(cost[i] * x[i]) = ∑(d[i] * x[i]) 最大 (d[i] = benifit[i] - l * cost[i]) , 并记为z(l). 我们可以兴高采烈地把z(l)看做以d为边权的最大生成树的总权值.

 

然后明确两个性质:

　1. z单调递减

　　证明: 因为cost为正数, 所以z随l的减小而增大.

　2. z( max(r) ) = 0

　　证明: 若z( max(r) ) < 0, ∑(benifit[i] * x[i]) - max(r) * ∑(cost[i] * x[i]) < 0, 可化为 max(r) < max(r). 矛盾;

　　 若z( max(r) ) >= 0, 根据性质1, 当z = 0 时r最大.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
#define N 1010
#define MAX 999999999
const double eps=1e-4;
int n;
int vis[N],x[N],y[N],z[N],pre[N];
double dis[N],cost[N][N],dist[N][N];
double prim(double x){
    double totalcost=0,totaldist=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        pre[i]=1;
    }
    dis[1]=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        dis[i]=cost[1][i]-dist[1][i]*x;
    }
    int k;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        double mincost=MAX;
        for(int j=2;j<=n;j++){
            if(!vis[j]&&dis[j]<mincost){
                mincost=dis[j];
                k=j;
            }
        }
        vis[k]=1;
        totalcost+=cost[pre[k]][k];
        totaldist+=dist[pre[k]][k];
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!vis[j]&&dis[j]>cost[k][j]-dist[k][j]*x){
                dis[j]=cost[k][j]-dist[k][j]*x;
                pre[j]=k;
            }
        }
    }
    return totalcost/totaldist;
}
int main(){
    while(scanf("%d",&n),n){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&z[i]);
            for(int j=1;j<i;j++){
                double t=(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]);
                cost[i][j]=cost[j][i]=abs(z[i]-z[j]);
                dist[i][j]=dist[j][i]=sqrt(t);
            }
        }
        double a=0;
        while(1){
            double b=prim(a);
            if(abs(a-b)<eps)break;
            else a=b;
            //cout<<a<<endl;
        }
        printf("%.3f\n",a);
    }
    return 0;
}