min-max 容斥

前置知识

请牢记二项式定理：
$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{a}^{n-i}{b}^i$

或另外一种形式：
$(a+1{)}^n=\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{a}^{n-i}=\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{a}^i$

min-max 容斥

学习

min-max 容斥的主要思想是给每个子集分配一个系数（然后每个属于子集的 $a_i$ 的系数加上该系数），使得 $S$ 的最大值 $a_i$ 的系数为 $1$，其余为 $0$。

问：一个集合 $S$，每次可以询问一个子集的 min 值，如何求 $S$ 的 max 值？

$S$ 的 max 等于 $\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-1}min(T)$。

证明：

• 假设 $S$ 是从大到小排序的，长度为 $n$。
• 那么 $T\subseteq S$ 满足 $min(T)=a_k$ 的系数之和（$(-1{)}^{|T|-1}$）是多少？
• 是 $\sum _{l=0}^{k-1}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{l})}(-1{)}^l$
• 注意到这就是二项式定理，等于 $(-1+1{)}^{k-1}$，即 $0^{k-1}$
• 显然只有当 $k=1$ 的时候（即最大值）系数之和为 $1$，其他都是 $0$。

注意到 min-max 容斥的原理是配系数，而期望可以加和，所以有套期望的 min-max 容斥公式（$E$ 表示期望）：

$E(max(S))=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-1}E(min(T))$

min-max 容斥的 $min$ 和 $max$ 反过来同理。

练习

如果题目说求 “所有都到达的期望步数” 或 “至少到达一个的期望步数” 等类似的话，都应该考虑一下 min-max 容斥。

• 例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3175
  • 发现每一位的期望是独立的，然而题目要求得就是 $E(max(S))$，min-max 容斥转化为求子集 $T$ 的 $E(min(T))$。
  • 发现是一个无限等比且等差数列求和，推一推就可以做了，暴力枚举子集这是 $O(3^n)$ 的，需要高维前缀和优化。
• 练习题：https://www.luogu.com.cn/problem/P5643
• 练习题：https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc331_g

拓展 min-max 容斥

学习

蒟蒻不太懂证明。

$E(max(S))=\sum _{T\subseteq S\mathrm{且}|T|\ge k}(-1{)}^{|T|-1}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{|T|-1}{k-1})}E(min(T))$

https://www.luogu.com.cn/article/t2zqvdou 里有证明

练习

• 练习题：https://www.luogu.com.cn/problem/P4707