调和级数

调和级数

结论：

$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\le {\log }_{2}n$

• 该结论常用于分析时间复杂度
• 比如这一题：点我查看

证明：

公式推导如下

$\frac{1}{1}\le \frac{1}{1}$

$\frac{1}{1}+(\frac{1}{2})\le \frac{1}{1}+\frac{1}{1}$

$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})\le \frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}$

$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})\le \frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$

$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{16})\le \frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$

• 上面这些公式显然是正确的
• 那么发现 $n$ 不断 $\times 2$，则 $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$ 不断 $+1$
• 那么便证明除了一开始的结论

级数汇总

• 级数就是无限延伸的一个数