数论 —— 质数 + 欧拉函数

简单定理

若 \(a\) 是自身模素数 \(p\) 的逆，当且仅当 \(a \equiv 1\pmod{p}\) 或 \(a \equiv -1\pmod{p}\)

威尔逊定理

对于一个素数 \(p\) 有 \((p-1)! \equiv -1\pmod{p}\)，即 \((p-1)! \equiv p-1\pmod{p}\)

证明

同时存在逆定理，若 \(n\) 为大于等于 \(2\) 的正整数且 \((n-1)! \equiv -1\pmod{n}\) 则 \(n\) 为素数。

证明

费马小定理

对于一个素数 \(p\) 和一个正整数 \(a\) 满足 \(p \nmid a\)（\(a\) 不能被 \(p\) 整除），则 \(a^{p-1} \equiv 1\pmod{p}\)

证明

对于一个素数 \(p\) 和一个正整数 \(a\)，则 \(a^{p} \equiv a\pmod{p}\)

证明

通过简单的变化还可以得到这些定理：

对于一个素数 \(p\) 和一个正整数 \(a\) 满足 \(p \nmid a\)（\(a\) 不能被 \(p\) 整除），则 \(a^{p-2}\) 是 \(a\) 模 \(p\) 的逆
对于一个素数 \(p\) 和两个个正整数 \(a,b\) 满足 \(p \nmid a\)（\(a\) 不能被 \(p\) 整除），对于同余线性方程 \(ax \equiv b\pmod{p}\) 的解 \(x\) 满足 \(x \equiv a^{p-2}b\pmod{p}\)。

伪素数+卡迈克尔数+米勒检验

通过费马小定理可知：对于一个整数 \(n\)，若有任何一个整数 \(b\) 满足 \(b^{n} \not\equiv b\pmod{n}\) 则 \(n\) 为合数。

伪素数定义：令 \(b\) 为正整数。若 \(n\) 是正合数且满足 \(b^{n} \equiv b\pmod{n}\)，则称 \(n\) 为以 \(b\) 为基的伪素数。

卡迈克尔数定义：若一个合数 \(n\) 对于所有满足 \(\gcd(d,n) = 1\) 的正整数 \(b\) 都有 \(b^{n-1} \equiv 1\pmod{n}\)，则 \(n\) 为卡迈克尔数，或者可以称其为绝对伪素数。

接下来就是米勒检验了：

其中 \(n\) 为奇数，设 \(b^{n-1} \equiv 1\pmod{n}\)
设 \(x = b^{\frac{n-1}{2}}\) 可得 \(x^2=b^{n-1}\equiv 1 \pmod{n}\)
根据简单定理中的第一条，若 \(n\) 为素数，则必定满足 \(x\equiv\pm 1 \pmod{n}\)，反之则 \(n\) 为合数

米勒检验定义：令正整数 \(n\) 满足 \(n > 2\) 且 \(n-1=2^st\)，其中 \(s\) 为非负整数，\(t\) 为奇正整数。其中 \(j\) 满足 \(1 \le j \le s-1\)，若有一个 \(j\) 满足 \(b^{2^jt}\equiv-1 \pmod{n}\) 或 \(b^{t}\equiv1 \pmod{n}\)，则称 \(n\) 通过了以 \(b\) 为基的米勒检验。

概率验证素数法

有一条关于米勒检验的定理：

若 \(n\) 为奇正合数，则最多有 \(\frac{n-1}{4}\) 个 \(b(1 \le b \le n-1)\) 可以使 \(n\) 通过米勒检验。

也就是至少 \(\frac{3(n-1)}{4}\) 个 \(b\) 可以验证出 \(n\) 为合数。

考虑随机一个 \(b\)，若 \(n\) 为合数，则有 \(\frac{1}{4}\) 的概率检查出 \(n\) 是合数。

我们只用随机 \(20\) 个 \(b\)，极大的概率可以检查出 \(n\) 是否为合数。

点击查看代码

LL qpow(LL A, LL B, LL mod){ LL ret = 1; // 快速幂 
  while(B > 0){
    if(B & 1) ret = ret * A % mod;
    A = A * A % mod, B >>= 1;
  }
  return ret;
} 
mt19937_64 rnd(time(0));// 可改变里面的种子
struct Miller_Rabin{    // 米勒验证质数 
  int round = 60;       // 随机验证的次数 
  bool check(LL n){     // 1 表示是质数 
    if(n == 2 || n == 3) return 1;
    if(n == 1 || n % 2 == 0) return 0;
    LL d = n - 1, cnt = 0;
    while(d % 2 == 0) cnt++, d >>= 1;
    for(int RR = 1; RR <= round; RR++){
      LL b = rnd() % (n - 3) + 2, Pow = qpow(b, d, n);
      if(Pow == 1) continue;
      for(int _cnt = cnt - 1; _cnt >= 0; _cnt--){
        if(Pow == n - 1) break;
        Pow = Pow * Pow % n;
        if(_cnt == 0) return 0;
      }
    } 
    return 1;
  } 
}mr;

欧拉定理

\(\varphi(n)\) 或 \(\phi(n)\) 表示小于等于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的个数。
模 \(n\) 的既约剩余系是由 \(\varphi(n)\) 个数构成的集合，集合中的数都与 \(n\) 互质，且模 \(n\) 后都不同

欧拉定理：对于正整数 \(m\)，且 \(a\) 是一个整数满足 \(\gcd(a,m) = 1\)，则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1\pmod{m}\)

证明

欧拉函数性质

将 \(n\) 质因数分解得 \(n = p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}\cdots p_s^{c_s}\)，则 \(\varphi(n) = \varphi(p_1^{c_1})\varphi(p_2^{c_2})\varphi(p_3^{c_3})\cdots \varphi(p_s^{c_s})\)

证明

对于两个整数 \(m\) 和 \(n\) 满足 \(\gcd(n, m) = 1\)，则 \(\varphi(nm) = \varphi(n)\varphi(m)\)

证明

若 \(p\) 为素数，则 \(\varphi(p) = p - 1\)。同时存在逆定理，即若 \(\varphi(p) = p - 1\)，则 \(p\) 为素数。
若 \(p\) 为素数，则 \(\varphi(p^a) = p^a - p^{a-1}\)。
将 \(n\) 质因数分解得 \(n = p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}\cdots p_s^{c_s}\)，则 \(\varphi(n) = n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_s})\)

证明

若 \(n\) 为大于 \(2\) 的整数，则 \(\varphi(n)\) 为偶数
将 \(n\) 质因数分解，\(\varphi(n) = \prod_{i=1}^{s}{p_i^{c_j - 1}(p_i - 1)}\)
\(\sum_{d|n}{\varphi(d)} = n\)

证明

\(\varphi(\varphi(n)) \le \frac{n}{2}\)

证明

两种方法求解欧拉函数

时间复杂度 \(O(\sqrt{n})\)

LL F(LL n){
  LL ret = n;
  for(LL i = 2; i * i <= n; i++){
    if(n % i == 0) ret = ret / i * (i - 1);
    while(n % i == 0) n /= i;
  }
  if(n > 1) ret = ret / n * (n - 1); 
  return ret;
}
LL F(LL n){
  LL ret = 1;
  for(LL i = 2; i * i <= n; i++){
    bool ooo = (n % i == 0);
    while(n % i == 0) n /= i, ret = ret * i;
    if(ooo) ret = ret / i * (i - 1);
  }
  if(n > 1) ret = ret * (n - 1); 
  return ret;
}