2-SAT

2-SAT

前置知识

• 并查集
• Tarjan 缩点

概念

• 用于处理拥有斜对称性的问题（在下文会提到）
• 运用了并查集思想

2-SAT

斜对称性

• 这是一张斜对称性概念图
• 如在例题P4782中，斜对称性就是 \(x_0 = y_1\) 且 \(x_1 = y_0\) （这是抽象意思，具体见代码实现）

易错地方

• 代码中是有向边,为什么不是无向边？
• 因为 2-SAT 是 并查集进阶版本，仅仅只是为了合并，所以不可以建无向边，因为不可以重复合并

Code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <cmath>
#include <map>

using namespace std;
using LL = long long;

const int MAXN = 2e6 + 3;  // 这里 MAXN 需要乘 2

int n, m, sum_k = 0;       // sum_k 表示块的数量
int depth, s_len, low[MAXN], dep[MAXN], s[MAXN]; // 缩点用的变量
int root[MAXN], vis[MAXN]; // 缩点后得到的答案
vector<int> eg[MAXN];

int dfs_small(int x, int dad){ // 模板缩点
  if(dep[x]){
    return (root[x] > 0 ? 1e9 : low[x]);
  }
  depth++, dep[x] = low[x] = depth, s[++s_len] = x;
  for(int nxt : eg[x]) low[x] = min(low[x], dfs_small(nxt, x));
  if(low[x] == dep[x]){
    sum_k++;
    for( ; s_len > 0 && s[s_len] != x; s_len--){
      vis[s[s_len]] = sum_k, root[s[s_len]] = x; // 这里不需要合并边，后面没有用到
    }
    vis[x] = sum_k, root[x] = x, s_len--;
  }
  return low[x];
}

void as_small(){
  depth = 0, s_len = 0;
  for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) dfs_small(i, 0); // 关系图不一定联通
}

bool as(){ // 判断 IMPOSSIBLE
  for(int i = 1; i <= n; i++){
    if(vis[i] == vis[i + n]) return 1;
  }
  return 0;
}

int main(){
  cin >> n >> m;
  for(int i = 1, X, Y, A, B; i <= m; i++){
    cin >> X >> A >> Y >> B;
    eg[(A^1)*n+X].push_back(B*n+Y); // 借助斜对称性建边
    eg[(B^1)*n+Y].push_back(A*n+X); // 不可以建双向边，因为不可以重复合并
  }
  as_small();
  if(as()){
    cout << "IMPOSSIBLE";
    return 0;
  }
  cout << "POSSIBLE\n";
  for(int i = 1; i <= n; i++){                        // 该题目有多种方案，这是任意合法方案
    cout << (vis[root[i]] > vis[root[i + n]]) << " "; // 0在1之前
  }
  return 0;
}