01分数规划学习笔记

定义

01分数规划是指这样一类问题：

给定一些物品，价值 \(a[i]\) ，花费 \(b[i]\) ，选取其中 \(k\) 个，使得 \(R=\frac{\sum{a[i]*x[i]}}{\sum{b[i]*x[i]}}\) 最大。(\(x[i]\) 为0或1，表示该物品取不取)

分析

我们定义一个函数 \(f(t)=\sum{a[i]*x[i]}-t*\sum{b[i]*x[i]}\) ，对式子做一个简单的变形， \(f(t)=\sum{((a[i]-t*b[i])*x[i])}\) 。

这时，如果 \(t\) 已知，则 \(a[i]-t*b[i]\) 就是已知的，但 \(x[i]\) 是未知的。于是我们记 \(d[i]=a[i]-t*b[i]\) ，函数变为 \(f(t)=\sum(d[i]*x[i])\) 。

仔细发现，函数中的 \(t\) 就是 \(ans\) ，而我们需要使 \(ans\) 最大，就必须使 \(t\) 最大。如果一个方案使 \(f(t)>0\) ，那么一定有比 \(t\) 更好的方案，我们就可以用这个方案。

综上，我们可以发现 \(d\) 数组是随 \(t\) 的增大而单调递减的，也就是说，存在一个临界 \(t\) 值使得不存在一种方案使 \(f(t)>0\) ，容易知道，这个 \(t\) 值就是最优解，而更大的 \(t\) 值会使 \(f(t)<0\) ，这是没有意义的。

所以我们可以二分 \(t\) 值，验证是否存在一组解使得 \(f(t)>0\) ，有就移到上界，没有就移到下界。

直到我们找到了一个最优解 \(t\) 值，此时 \(t=ans\) 。

例题

• 破坏Sabotage
• 地震

参考

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