[学习笔记] 生成函数

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博客园的格式和我本地的不太一样，有些式子的换行好像被吃了，还有一行里的式子可能显示不全的（缩小网页好像就能显示得更多）。抱歉.QwQ

目录

• [学习笔记] 生成函数
  • 思想（重要）
  • 分类
  • OGF
    • OGF 的封闭形式
    • OGF 的组合意义
      • 卷积
    • OGF 的应用
  • EGF
    • EGF 的封闭形式
    • EGF 的组合意义
      • 卷积
      • $\exp$
      • $\ln$
      • 有标号非空集合
      • 集合有无标号转化
    • EGF 的应用
  • PGF
    • PGF 的一些性质
    • PGF 的例题
  • DGF
    • 积性函数的 DGF 的形式变化
    • DGF 的意义
      • 卷积
      • 单位元
      • 乘法逆
      • 平移
      • 求导、积分、对数（$\ln$）、指数（$\exp$）
    • DGF 的应用
  • 参考资料

[学习笔记] 生成函数

[ ] 里的是我还不确定的。

本文内容可能不严谨、可能不准确。

思想（重要）

• 核心：通过 生成函数 来 刻画问题，再用 处理“多项式”的技巧 来 解决问题。（从 cmd 的博客中学到）
• 使用 封闭形式 来 [简化分析]、优化实现。
• 生成函数提供了一类 固定的方法 来求解许多感觉需要很聪明的解法的问题。
• 想清楚 元素有无标号、集合有无标号。

分类

• 普通生成函数（OGF）。
• 指数生成函数（EGF）。
• 概率生成函数（PGF）。
• 狄利克雷生成函数（DGF）。
• 多占位元生成函数。
  • 二元生成函数（BGF）。

OGF

• 非常常用。
• 序列 $a$ 的 OGF 为 $\sum _{n\ge 0}{a}_n{x}^n$。
• 在符号化方法中用于 无标号体系。

OGF 的封闭形式

• 常用的推导方法是乘一项和原来的对其，开头 $x^0$ 项空出来，减，解方程。
• 可以拆成若干部分，分别求封闭形式，再加 / 减起来。
• [还可能对已知的封闭形式求导 [或积分]]。
• 另外，可能需要用到其他公式、定理或已知的封闭形式。例：二项式定理。

重要：$\sum _{i\ge 0}{x}^i=\frac{1}{1-x}$。

OGF 的组合意义

• 和：？

卷积

合并两个集合，合并后 $x^m$ 项系数是把 $m$ 个 无标号 的元素划分到两个集合（可以为空）（集合 有标号），方案数相乘再相加。这里的有无标号与原来的 OGF 无关。

例：合并方案数背包。

OGF 的应用

• 优化 DP、求解背包问题（方案数 / 可行性，其实是 计数）：利用“多项式”相关技巧和数学方法优化。
• 处理无穷项的 DP 状物：例如《Mivik 的标题》。
• 求解常系数齐次线性递推：Bostan-Mori 算法或其他方法。
• 求解通项公式：先推出封闭形式再展开。

EGF

• 序列 $a$ 的 EGF 为 $\sum _{n\ge 0}{a}_n\frac{x^n}{n!}$。

  • 可以认为是 $a$ 中每个 $a_i$ 都变成 $\frac{a_i}{i!}$ 得到的序列的 OGF，运算规则也和 OGF 一致。
  • 在实际实现中当成 OGF 来实现，所以注意提取 $x^n/n!$ 项的系数时要乘 $n!$。也就是我们要的是 $[x^n/n!]F(x)$ 而不是 $[x^n]F(x)$。

• 在符号化方法中用于 有标号体系。

EGF 的封闭形式

推导方法：

• 泰勒展开。
• 运用已知的封闭形式。
• 整体法。
• 拆成若干部分，分别求封闭形式，再加 / 减起来。
• 运算的组合意义。

重要：$\sum _{i\ge 0}\frac{x^i}{i!}=e^x$。

(1). $a_i=1$.（泰勒展开）.

$$A(x)=\sum _{i\ge 0}\frac{x^i}{i!}=e^x$$

(2). $a_i=[i>0]$. from (1).

$$A(x)=\sum _{i\ge 1}\frac{x^i}{i!}=e^x-1$$

(3). $a_i=\{\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\}$. 第二类斯特林数.（EGF 卷积的组合意义）. from (2).

$$\begin{gathered} A(x)=\frac{(e^x-1{)}^k}{k!} \\ \frac{1}{n!}\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\}=[x^n]\frac{(e^x-1{)}^k}{k!} \end{gathered}$$

(4). $a_i=p^i$.（整体法，换元）. from (1).

$$A(x)=\sum _{i\ge 0}\frac{p^i{x}^i}{i!}=\sum _{i\ge 0}\frac{(px{)}^i}{i!}=e^{px}$$

(5). $a_i=[i>0](i-1)!$.（泰勒展开）.（$[i>0]$？）.

$$A(x)=\sum _{i\ge 1}\frac{x^i}{i}=-\ln (1-x)$$

(6). $a_i=[\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}]$. 第一类斯特林数.（EGF 卷积的组合意义）. from (5).

$$\begin{gathered} A(x)=\frac{[-\ln (1-x){]}^k}{k!}=\frac{(-1{)}^k{\ln }^k(1-x)}{k!} \\ \frac{1}{n!}[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}]=[x^n]\frac{(-1{)}^k{\ln }^k(1-x)}{k!} \end{gathered}$$

EGF 的组合意义

• 和：？

卷积

两个 EGF 的卷积：卷出 二项式系数。合并两个集合，合并后 $x_m$ 项系数是把 $m$ 个 有标号 的元素划分到两个集合（可以为空）（集合 有标号），方案数相乘再相加。这里的有无标号与原来的 OGF 无关。

$$\begin{gathered} [x^m]A(x)B(x)=\sum _{0\le i\le m}{a}_i\cdot \frac{1}{i!}\cdot b_{m-i}\cdot \frac{1}{(m-i)!} \\ =\sum _{0\le i\le m}{a}_i{b}_{m-i}\frac{m!}{i!(m-i)!}\frac{1}{m!} \\ =\sum _{0\le i\le m}{a}_i{b}_{m-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})\frac{1}{m!} \\ [x^m/m!]A(x)B(x)=\sum _{0\le i\le m}{a}_i{b}_{m-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i}) \end{gathered}$$

$k$ 个 EGF 的卷积：卷出 多项式系数。合并多个集合，合并后 $x_m$ 项系数是把 $m$ 个 有标号 的元素划分到多个集合（可以为空）（集合 有标号），方案数相乘再相加。这里的有无标号与原来的 EGF 无关。

$$[x^m/m!]\prod _{i=1}^k{F}_k(x)=\sum _{a_1,a_2,\dots ,a_k,a_i\ge 0,\sum a_i=m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{a_1,a_2,\dots ,a_k})\prod _{i=1}^k{f}_{i,a_i}$$

证明类似两个 EGF 的卷积，[也可以直接重复两个 EGF 卷的过程]。

$\exp$

$$\exp (F(x))=\sum _{m\ge 0}\frac{[F(x){]}^m}{m!}$$

$\exp$ 之后的 $x^k/k!$ 项系数表示把 $k$ 个 有标号 的元素划分到任意多个（可以为 $1$ 个）非空（[因为 $\exp$，$[x^0/0!]F(x)=0$]）集合，集合 无标号（因为除以了 $m!$ 即划分成的集合数的阶乘），方案数相乘再相加。这里的有无标号与原来的 EGF 无关。

$\exp$ 之后的 $x^0/0!$ 项系数我还不懂。

$\ln$

$\exp$ 反过来。例：统计某种连通图，不好维护连通性，于是直接统计这种图（不管连通性），用 EGF 表示；不连通的图可以认为是划分成若干个连通图，就相当于连通图的 EGF 的 $\exp$，于是对不管连通性的图的 EGF 求 $\ln$ 即可。（？）

有标号非空集合

$$\sum _{m\ge 0}[F(x){]}^m=\frac{1}{1-F(x)}$$

和 EGF 的 $\exp$ 不同在没有除以 $m!$，也就是说集合有标号。

但请注意划分成的集合仍然不能有空集，因为如果有空集方案数就会变成无穷大。

它的 $x^k/k!$ 项系数表示把 $k$ 个 有标号 的元素划分到任意多个 非空 集合，集合 有标号，方案数相乘再相加。这里的有无标号与原来的 EGF 无关。

集合有无标号转化

集合有标号 $\to$ 无标号：除以集合数的阶乘。

集合无标号 $\to$ 有标号：乘以集合数的阶乘。

EGF 的应用

EGF 和斯特林数有异曲同工之妙，都能用于集合划分相关问题（元素有标号），可以认为是算 “单体”拼出“多聚体”的方案数（单体内部的方案数也可以考虑）。不同点在于 EGF 把很多东西放在一起处理，而且“单体”的方案数更灵活。

EGF 主要解决 有标号的图 的计数问题（from 指数生成函数学习笔记&做题记录 - houzhiyuan - 博客园），常常和 连通性 相关。例如：

• 有标号无根树森林计数。（无根树 $\to$ 森林）
• 有标号有根树森林计数。（可以不用 EGF，有更直接的式子）
• 有标号简单无向连通图计数。（简单无向图 $\to$ 简单无向连通图）
• 有标号弱连通 DAG 计数。（DAG $\to$ 弱连通 DAG）
• 有标号二分图计数。（？？？？？）
• 有标号强连通竞赛图计数。（？？？？？）

另一道题（[贝尔数]）：P5748 集合划分计数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态。

PGF

• 离散随机变量 $X$ 的 PGF 为 $F(z)=\sum _{i\ge 0}P(X=i)z^i$。

  • 可以认为是 $a_i=P(X=i)$ 这个序列的 OGF。本质是有特殊性质的 OGF。

• 用于求解概率、期望相关问题，[具体方法中带 OGF 的影子]。

  • 概率生成函数在一方面提供了一种刻画概率相关模型的工具，另一方面比较形式化地总结了一类概率问题的一般性思路。

• 核心思路：列出 PGF 或其导数的方程，代入 $z=1$ 解出得到答案。（原因见性质）

PGF 的一些性质

$$\begin{gathered} F(1)=\sum _{i\ge 0}P(X=i)=1 \\ {F}^{\prime }(1)=\sum _{i\ge 0}P(X=i)\cdot i\cdot 1^{i-1}=E(X) \\ {F}^{(k)}(1)=E(X^{\underset{―}{k}}),k\ne 0 \\ {F}^{″}(1)+F^{\prime }(1)-(F^{\prime }(1){)}^2=E(x^{\underset{―}{2}}+x)-[E(x){]}^2=E(x^2)-[E(x){]}^2={\sigma }^2(x) \end{gathered}$$

PGF 的例题

[P4548 CTSC2006] 歌唱王国 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态.

简要题意和题解先咕咕咕了。

DGF

• 序列 $f$ 的 DGF 为 $F(x)=\sum _{i\ge 1}\frac{f_i}{i^x}$。
  • 如果 $f$ 是积性函数，那么其 DGF 可以由质数幂处的取值表示（拼出每一项）：$F(x)=\prod _{p\in P}\sum _{i\ge 0}\frac{f_{p^i}}{p^{ix}}$。（？）（$f_i=0$ 也考虑？）
  • 如果 $f$ 是完全积性函数，那么其 DGF 可以由质数处的取值表示（拼出每一项）：$F(x)=\prod _{p\in P}\sum _{i\ge 0}\frac{f_p^i}{p^{ix}}=\prod _{p\in P}\sum _{i\ge 0}(\frac{f_p}{p^x}{)}^i=\prod _{p\in P}\frac{1}{1-\frac{f_p}{p^x}}$。（？）
• DGF 和贝尔级数关系紧密，DGF 和贝尔级数都和狄利克雷卷积关系紧密。
• DGF 提供了一种分析狄利克雷卷积的方法，常用于积性函数相关的推导。
• 把函数用 $\zeta$ 表示，简洁、直观、统一，易于分析，简化了推导过程，使推导过程更为直观。

积性函数的 DGF 的形式变化

重要：黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta (x)=\sum _{i\ge 1}\frac{1}{i^x}=\prod _{p\in P}\frac{1}{1-p^{-x}}$。

(1). $ϵ$.

$$F(x)=1$$

(2). $I$. 是完全积性函数.

$$\zeta (x)=\prod _{p\in P}\sum _{i\ge 0}\frac{1}{p^{ix}}=\prod _{p\in P}\frac{1}{1-p^{-x}}$$

(3). 莫比乌斯函数 $\mu$. 初现端倪（用 $\zeta$ 表示）.

$$F(x)=\prod _{p\in P}(1-\frac{1}{p^x})=\prod _{p\in P}(1-p^{-x})=\frac{1}{\zeta (x)}$$

(4). 刘维尔函数 $\lambda$. 是完全积性函数.

$$F(x)=\prod _{p\in P}\sum _{i\ge 0}\frac{(-1{)}^i}{p^{ix}}=\prod _{p\in P}\sum _{i\ge 0}(\frac{-1}{p^x}{)}^i=\prod _{p\in P}\frac{1}{1-\frac{-1}{p^x}}=\prod _{p\in P}\frac{1}{1+p^{-x}}=\prod _{p\in P}\frac{(1-p^{-x})}{(1+p^{-x})(1-p^{-x})}=\prod _{p\in P}\frac{(1-p^{-x})}{(1-p^{-2x})}=\frac{\zeta (2x)}{\zeta (x)}$$

(5). ${\mu }^2$（点积）. 或 $|\mu |$.

$$F(x)=\prod _{p\in P}(1+\frac{1}{p^x})=\prod _{p\in P}\frac{(1+p^{-x})(1-p^{-x})}{(1-p^{-x})}=\prod _{p\in P}\frac{1-p^{-2x}}{1-p^{-x}}=\frac{\zeta (x)}{\zeta (2x)}$$

(6). $i{d}_k$. 可以用最开始的 DGF 式子哦.

$$F(x)=\sum _{i\ge 1}\frac{i^k}{i^x}=\sum _{i\ge 1}\frac{1}{i^{x-k}}=\zeta (x-k)$$

(7). 欧拉函数 $\phi$.

$$\begin{gathered} F(x)=\prod _{p\in P}(1+\sum _{i\ge 1}\frac{p^{i-1}(p-1)}{p^{ix}}) \\ \mathrm{设}G(x)=1+\sum _{i\ge 1}\frac{p^{i-1}(p-1)}{p^{ix}}=1+\frac{p-1}{p^x}+\frac{p^2-p}{p^{2x}}+\frac{p^3-p^2}{p^{3x}}\cdots \\ \mathrm{则}G(x)-(\frac{p}{p^x}G(x)-\frac{1}{p^x})=1 \\ (1-\frac{p}{p^x})G(x)=1-\frac{1}{p^x} \\ G(x)=\frac{1-\frac{1}{p^x}}{1-\frac{p}{p^x}}=\frac{1-p^{-x}}{1-p^{-(x-1)}} \\ F(x)=\frac{\zeta (x-1)}{\zeta (x)} \end{gathered}$$

还有一种推的方法：

$$\begin{gathered} F(x)=\prod _{p\in P}(1+\sum _{i\ge 1}\frac{p^i-p^{i-1}}{p^{ix}}) \\ =\prod _{p\in P}(1+\sum _{i\ge 1}{p}^{i-ix}-\sum _{i\ge 1}{p}^{i-1-ix}) \\ \mathrm{然}\mathrm{后}\mathrm{可}\mathrm{能}\mathrm{是}\mathrm{去}\mathrm{求}\mathrm{了}\sum _{i\ge 1}{p}^{i-ix}\mathrm{和}\sum _{i\ge 1}{p}^{i-1-ix}\mathrm{的}\mathrm{封}\mathrm{闭}\mathrm{形}\mathrm{式}\mathrm{吧}。 \end{gathered}$$

(8). ${\sigma }_k(n)=\sum _{d\mid n}{d}^k$.

$$F(x)=\zeta (x-k)\zeta (x)$$

证明：

$$\begin{gathered} F(x)=\prod _{p\in P}\sum _{i\ge 0}\frac{{\sigma }_k(p^i)}{p^{ix}} \\ =\prod _{p\in P}\sum _{i\ge 0}\frac{\sum _{j=0}^i{p}^{jk}}{p^{ix}} \\ \mathrm{设}S=\sum _{j=0}^i{(p^j)}^k \\ S-p^{k}S=1-p^{k(i+1)} \\ S=\frac{1-p^{k(i+1)}}{1-p^k} \\ F(x)=\prod _{p\in P}\sum _{i\ge 0}\frac{S}{p^{ix}}=\prod _{p\in P}(\frac{1}{1-p^k}\sum _{i\ge 0}\frac{1-p^{k(i+1)}}{p^{ix}}) \\ \sum _{i\ge 0}\frac{1-p^{k(i+1)}}{p^{ix}}=\sum _{i\ge 0}\frac{1}{p^{ix}}+\sum _{i\ge 0}\frac{1-p^{k(i+1)}}{p^{ix}} \\ \mathrm{设}G(x)=\sum _{i\ge 0}\frac{1}{p^{ix}},H(x)=\sum _{i\ge 0}\frac{p^{k(i+1)}}{p^{ix}} \\ G(x)-p^{-x}G(x)=1 \\ G(x)=\frac{1}{1-p^{-x}} \\ H(x)-p^{k-x}H(x)=p^k \\ H(x)=\frac{p^k}{1-p^{k-x}} \\ F(x)=\prod _{p\in P}\frac{1}{1-p^k}(G(x)-H(x)) \\ =\prod _{p\in P}\frac{1}{1-p^k}(\frac{1}{1-p^{-x}}-\frac{p^k}{1-p^{k-x}}) \\ =\prod _{p\in P}\frac{(1-p^{k-x})-p^k(1-p^{-x})}{(1-p^k)(1-p^{-x})(1-p^{k-x})} \\ =\prod _{p\in P}\frac{1}{(1-p^{-x})(1-p^{k-x})} \\ =\zeta (x)\zeta (x-k) \end{gathered}$$

kimi 好像给出了一种更妙的证明，但我没看懂……

在上面的式子中，(2)(3) 是一对，(4)(5) 是一对。好磕！

方法总结：

三种式子：用 DGF 的定义式、用积性函数的式子、用完全积性函数的式子。

• 用 DGF 的定义式：整体法（换元法）。（涉及平移（$\zeta (x-k),F(x-k)$）的时候用）.

• 用另外两种式子（$\prod$ 枚举质数）：

  • 把 $\prod$ 里面化为封闭形式。

    • 利用与求 OGF 封闭形式类似的方法，平移后相减得到常数项，解方程解出封闭形式。
    • 可以拆成若干部分，分别求封闭形式，再加 / 减起来。

  • 凑 $\zeta$ 的形式。

    • 分式上下同乘，再用平方差公式。
    • 整体法（换元法）。

也可以直接用 狄利克雷卷积相关结论。

DGF 的意义

加减：？

卷积

DGF 的卷积是原序列的狄利克雷卷积的 DGF。

可以利用这一点证明一些并不显然的狄利克雷卷积：

$\frac{\zeta (x-1)}{\zeta (x)}\zeta (x)=\zeta (x-1)\Rightarrow \phi \ast I=id$.

$\frac{\zeta (x-1)}{\zeta (x)}[\zeta (x){]}^2=\zeta (x-1)\zeta (x)\Rightarrow \phi \ast d=\sigma$. 其中 $d$ 是 ${\sigma }_0$，$\sigma$ 是 ${\sigma }_1$.

单位元

$ϵ$ 是狄利克雷卷积的单位元（而 $I$ 并不是），$ϵ$ 的 DGF（$1$）是 DGF 卷积的单位元。

乘法逆

这里只讨论积性函数。

DGF 的乘法逆是原函数在狄利克雷卷积下的逆元。

平移

$$\begin{gathered} F(x-k)=\sum _{i\ge 1}\frac{f(i)}{i^{x-k}}=\sum _{i\ge 1}\frac{i^{k}f(i)}{i^x} \\ G(x)=F(x-k),g(n)=n^{k}f(n) \end{gathered}$$

$F(x-k)$ 相当于 $f(x)$ 点积一个完全积性函数 $i{d}_k$。如果 $f_n$ 是积性函数，则 $f^{\prime }(n)=n^{k}f(n)$ 也是积性函数。

求导、积分、对数（$\ln$）、指数（$\exp$）

咕咕咕。

DGF 的应用

• 证明狄利克雷卷积相关结论。
• 莫比乌斯反演。
  • ？？？？？？
  • 狄利克雷生成函数 学习笔记 - 洛谷专栏.
  • 狄利克雷卷积及常见函数与莫比乌斯反演 - Liquefyx - 博客园. 里面的“莫比乌斯反演扩展”.
• 求积性函数前缀和。
  • 结合杜教筛，对 $f$ 构造 $g,h$ 使得 $f\ast g=h$。
    • 先用积性函数 DGF 的式子推到用 $\zeta$ 表示 $F(x)$，再用 $\zeta$ 构造。
  • 结合 PN 筛。咕咕咕。
• 求积性函数（结合线性筛）：求积性函数在素数幂处的取值。

参考资料

OI-Wiki.

zhr 学长的课件.

kimi.

多项式计数杂谈 - 洛谷专栏.

指数生成函数学习笔记&做题记录 - houzhiyuan - 博客园.

概率生成函数（PGF）简记 - Aphrosia - 博客园.

概率生成函数学习笔记 - bztMinamoto - 博客园.

狄利克雷生成函数 - OI Wiki.

狄利克雷生成函数浅谈 - 洛谷专栏.

狄利克雷生成函数 学习笔记 - 洛谷专栏.

DGF - ShanLunjiaJian's Blog.

狄利克雷卷积及常见函数与莫比乌斯反演 - Liquefyx - 博客园.

高等数学（九）泰勒展开式 - 知乎.

2025.1.23

2025.1.24