[学习笔记 #5] 哈希

合集 - 学习笔记(9)

1.[学习笔记 #1] Minimax 算法和 Alpha-Beta 剪枝2024-10-182.[学习笔记 #2] 贪心2024-10-24

3.[学习笔记 #5] 哈希2024-11-22

4.[学习笔记 #7] Link Cut Tree2024-12-065.[学习笔记 #9] 回文自动机和“广义回文自动机”2024-12-076.[题目总结 #1] 静态序列区间查询问题2024-11-077.[课件 #1] Dynamic Programming2024-11-088.[学习笔记] 生成函数01-249.[学习笔记] 扫描线02-15

收起

目录

• [学习笔记 #5] 哈希
  • 前言
  • 哈希表
  • 过渡：用哈希解决判定性问题
  • 不知道归到哪里去的技巧
  • 集合哈希
    • Sum Hashing
    • Xor Hashing
  • 序列哈希
  • 树哈希
  • 数据结构维护哈希值
  • 参考

[学习笔记 #5] 哈希

下面 [ ] 起来的是我还不确定的。

前言

从今年暑假到现在（2024.11.13），考了多少道哈希，我一道都没场切。前年 CSP-S T3 星战没想出哈希做法，去年 CSP-S T2 又没想出哈希做法。满满的黑历史……

早就想总结了，没时间。今天忍不住了。

哈希表

• 哈希表和下面说的哈希应该不是一回事。
• 概括：缩小范围。可以用来存储哈希值。
• 具体实现：
  • 当集合 $A$ 较大时，用一个函数 $f:A\to B$ 把 $A$ [映射] 到一个较小的集合 $B$。
  • 查找时给出 $B$ 中的元素，对应回 $A$ 中的元素。
  • 但是 $B$ 中的一个元素可能对应 $A$ 中的多个元素，即哈希冲突（或称哈希碰撞）。
    • 两种解决方法：
      1. 让 $B$ 中的每个元素挂一串（$A$ 中的）元素。查找时遍历这一串。
      2. 让 $B$ 中的每个元素只对应一个（$A$ 中的）元素。那么每添加一个（$A$ 中的）元素时，如果对应的（$B$ 中）元素没有对应元素，就对应上，否则接着找，直到找到一个还没对应的，对应上。
• 实际使用：
  • 可以用 map 或 unordered_map。map 带 $\log$，但 unordered_map [[可能会被卡]]。
  • 可以用 pb_ds 里的哈希表。

过渡：用哈希解决判定性问题

• 接下来的哈希用于解决 判定性问题。
• 采用哈希的原因：常规方式难以判定。
• 方法：
  • 我们找 充分条件或必要条件（不是充要条件） 来判定，使用哈希来简化问题。
  • 通过随机和多次判定来降低错误概率。
  • 可以从原命题或 [[原命题的否定]] 两方面考虑。
  • 要 判断是否是某种情况，就要先选择哈希的方式（要有针对性），再得到这样哈希的话这种情况的值是多少或是什么情况，最后判断真实的哈希值是否满足条件。

不知道归到哪里去的技巧

• 四次方（[可能] 要取模）。[使哈希值更离散。]
• 双哈希。
• 多次哈希。

集合哈希

• 通过运算的交换律来 [表现] 集合的 [无序性]。

• 可以转化为序列哈希：

  • 方法一：

    • 对集合中每个值，记录它的出现次数，记到一个序列（桶）上（给值固定了顺序）。
      • 可重集：就是这样。
      • 不是可重集：出现次数是 $0$ 或 $1$。
    • 对这个序列跑序列哈希。

  • 方法二：

    • 对集合排序（规定某种顺序，不一定从小到大），跑序列哈希。

Sum Hashing

• 哈希值表示整个集合。
• $h(S)=\sum _{x\in S}{h}^{\prime }(x)$。
  • $h^{\prime }$：对每个 $x$ 赋一个随机值（相同的 $x$ 赋的值相同）。
• 一个性质——判断集合中每个数的出现次数是否都是 $k$ 的倍数（出现次数为 $0$ 也可以）：
  • 求和有对取模很友好的性质：如果一个数值的出现次数 $modk=0$，那么它的哈希值加起来 $modk$ 也为 $0$。如果每个数值的哈希值之和 $modk=0$，那么整个集合的哈希值（每个数的哈希值加起来，即每个数值的哈希值之和加起来）就也 $modk=0$。因此原命题能推出 Sum Hashing 的值 $modk=0$，那么后者就是前者的必要条件。
  • 看 Sum Hashing 的值 $modk$ 是否为 $0$。
    • 如果不为 $0$ 则说明集合中 每个数的出现次数都是 $k$ 的倍数 一定不成立。
    • 如果为 $0$ 则说明 ~ 可能成立。
    • [蒙特卡罗判定]。
  • 随机较多遍之后错误率就小到可以接受了。
  • 题、错误率分析见：CF1746F Kazaee。

Xor Hashing

• 二进制 Xor Hashing [较常见]。
• $k$ 进制 Xor Hashing。
  • 每一位分别相加，不进位，分别对 $k$ 取模。
• 哈希值 一般 不表示整个集合，只表示每个元素出现次数 $modk$ 是否为 $0$。
  • 如果集合中每个元素的出现次数都 $\le k$，Xor Hashing 表示的就是整个集合。
• 本质：
  • 把很多遍 取模的 Sum Hashing（就是上面写的 Sum Hashing 的“一个性质”部分）压到一起跑。因为每一位是独立的，每一位都相当于一次取模的 Sum Hashing。
• 错误率：
  • 二进制 Xor Hashing 的话，在 [[int 或 long long]] 范围内随机，[一般] 这样跑一遍的错误率就刚好小到可以接受了。
• 相比 Sum Hashing 的优势：
  • （二进制 Xor Hashing）二进制压缩，去掉了跑很多遍带的大概一只 $\log$。
  • 异或性质优美，有时有妙用。（下面是二进制的，[更高的] 进制我不知道）
    • 重复直接消掉：
      • 树上简单路径的异或和：直接算到根的异或和，异或起来即可。
    • [异或线性基]。（我还不清楚正确率）（咕咕咕）

序列哈希

• 把下标加入计算中，从而 [表现] [有序性]。
• 字符串哈希。（多项式哈希。）
• 作用：判定相等。
• 可以预处理 Base 的幂来 $O(1)$ 取出一段的哈希值。
• 双哈希。

树哈希

还不会呜呜呜。

数据结构维护哈希值

• 哈希表。
• 其他数据结构。

咕咕咕。

以后来放题。

参考

• 哈希：从入门到入土 - 题单 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
• 散列（哈希，Hash）入门 - 题单 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

---

2024.11.13