[技巧] 思维题 长期更新

合集 - 注意事项/策略/技巧(10)

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由于笔者很菜，这篇文章里的术语使用可能有误。

要求用最少步数构造出的某种结果，但不用输出最少步数

例题：2024.10.19 模拟赛 T4。

直接考虑最后的结果长什么样，可能不用真正得到变过去的整个方式。

相邻交换问题

注意：这里说的不是那个 邻项交换排序贪心。

题

给一个序列，可以交换任意相邻的两个数任意次，问最少多少次能够使这个序列满足某种条件。

例题：2024.10.19 模拟赛 T4。

思路

相邻交换对大小关系的影响不大，交换 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 只会影响数值 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 所在位置的前后关系，而不会影响其他 对 数值所在位置的前后关系。

考虑每一对数值的位置关系，对每一对数值找必须怎么走才最优。[合到一起（即贪心）后的正确性考虑能不能使得每个限制都被满足。]（？）

增量法

自己规定顺序来增量

好处：

1. 满足限制（如：大小关系）（我没想起这种做法能做的其他限制）。例：P2513 [HAOI2009] 逆序对数列、[《算法竞赛进阶指南》上 DP 部分的第一道例题]（？）。
2. 在之前的基础上做。例：2024.10.21 模拟赛 T1。

[字典序]（？）、位运算结果 最值、第 $k$ 小值

高位具有决定性。具体：如果高位已经分出了大小就不用比较低位了，此时已有大小关系。

于是：

• 最值：从高位到低位贪心。
• 第 $k$ 小值：确定此时那一位（高位），算低位随意选有多少种方案，根据其与 $k$ 的关系判断此时那一位选什么，可能要让 $k$ 减掉[与方案数有关的值]（？），再接着选下一位（更低的一位）。

某个东西的个数很少（某个个数很小）

• 很小：状压、搜索。
• 特别小：状压、搜索、作为 DP 状态的维度个数（可能还有其他的维度，即可能小于维度个数）。第三点的例题：[《算法竞赛进阶指南》上 DP 部分的第一道例题]（？）。