[做题笔记 #1] DP

合集 - 做题笔记(10)

1.[做题笔记]（2024 年暑假）Ynoi2024-08-292.[做题笔记 #4] 拉格朗日插值2024-08-293.[做题总结] 2024.10.82024-10-084.[做题笔记] 打表2024-10-28

5.[做题笔记 #1] DP2024-10-11

6.[做题笔记 #2] 数据结构2024-11-017.[做题笔记 #3] 图论2024-11-168.AtCoder Grand Contest 00101-209.AtCoder Grand Contest 00201-2010.Codeforces Round 983 (Div. 2)01-21

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目录

• [做题笔记 #1] DP
  • P2339 [USACO04OPEN] Turning in Homework G
  • CF2025D Attribute Checks
  • P8981 「DROI」Round 1 距离
  • P3643 [APIO2016] 划艇
  • P4463 [集训队互测 2012] calc
  • P9823 [ICPC2020 Shanghai R] The Journey of Geor Autumn
  • AT_arc178_d [ARC178D] Delete Range Mex
  • AT_arc093_d [ARC093F] Dark Horse
  • P3262 [JLOI2015] 战争调度
  • CF1153F Serval and Bonus Problem
  • P4042 [AHOI2014/JSOI2014] 骑士游戏
  • AT_arc073_d [ARC073F] Many Moves
  • AT_abc221_g [ABC221G] Jumping sequence

[做题笔记 #1] DP

[ ] 里的是我还不确定的。

P2339 [USACO04OPEN] Turning in Homework G

正难则反。考虑倒序处理……

2024.[10]（?）.?

CF2025D Attribute Checks

状态先设阶段，用好不对称状态。

$n$ 和 $m$ 大小差距大，考虑用 $m$ 个东西把 $n$ 个东西分段，状态按 $m$ 来设。

不要忘了最后一段的贡献。

2024.10.28

P8981 「DROI」Round 1 距离

换根 DP（二次扫描法）。

注意统计最大值和最大值的出现次数。有两种写法：边求最大值边统计、求出最大值后看最大值是谁来统计（都是 DP）。

如何统计树上经过一个点的路径：

1. 路径两端点不同。我们把这个点去掉，树被分成很多块，把这个点也作为一个块，那么两端点一定在不同的两个块内。实际实现时可以分为 子结点的子树（可以有很多块）、这个点自己、它上面的部分 这三部分来处理。
2. 路径两端点相同。那么两个端点一定都是这个点，直接统计即可。

细节较多。代码写成了史山。

2024.10.29 和 xjy duel 的题。2024.10.30 才改出来并写了总结。

P3643 [APIO2016] 划艇

分段拉插优化 DP。

见 [做题笔记] 拉格朗日插值。

2024.11.1

P4463 [集训队互测 2012] calc

见 [做题笔记] 拉格朗日插值。

2024.11.1

P9823 [ICPC2020 Shanghai R] The Journey of Geor Autumn

[P9823 ICPC2020 Shanghai R] The Journey of Geor Autumn - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

回家后补上。

AT_arc178_d [ARC178D] Delete Range Mex

赛时想法：排列，$mex$：找性质。因为排列（这里是从 $0$ 开始）里的数不重复且是 $0,1,2,\dots$ 这样连续的，所以排列的区间 $mex$ 其实是前缀后缀 $min$。但这里其实不是很能用上这个结论。

明确一个事情：题目给出的序列 $A$ 一定是我们构造出来的排列的子序列，也就是说排列中的一些点要删，一些点不删。显然不删的点就是 $A$ 中出现的，其他要删。

于是我们直接考虑删的过程。删除每个数需要 $\ge 0$ 且 $<$ 它的整数都在一段区间中，且它不在这段区间中。考虑如何满足这个限制，使得所有要删的数都能被删除。

• 因为删除大的需要小的存在，所以从大到小删除。
• 因为 $\ge 0$ 且 $<$ 它的点要形成一段不包含它自己的区间，所以小于它的点要么都在它的左侧，要么都在它的右侧。

不妨从小到大加入数，加入的数分两种：要删的和不要删的。

对于要删的数，要满足小于它的数都在它的一侧。我们考虑已经填的数是怎么限制它的，已经填的数形成了一段区间，这个数只能填在区间之外。于是把这个区间放进状态里，进行区间 DP。

对于不删的数，它要被放回它原来的位置。

显然每个要删的数是卡到不删的数的缝里的，且每个缝里可以塞不止一个数。如果动态地表示缝（把不删的数也拿去形成缝）不是很好处理，于是我们就直接用原序列的缝的位置作为区间的端点。

写 DP 转移方程，发现要前缀和优化。

2024.11.23

2024.11.27

AT_arc093_d [ARC093F] Dark Horse

对于方案数相同的情况，我们只处理一种——因为是满二叉树，所以 $1$ 的位置在哪里方案数都是一样的；我们直接把 $1$ 固定在第一个叶子结点，算出答案后再 $\times 2^n$ 得出把 $1$ 放在每个位置上的方案数之和。

发现剩下了若干棵大小为 $1,2,4,8,\dots ,2^{n-1}$ 的子树，要求这些子树中每一棵的最小值都不在 $A$ 中。

其实不是子树，就是划分集合，每个集合里再排列一下。

发现集合的数量非常少，我们得以状压。为了不记录集合的大小，我们要填就一下填完一整个集合。

[最小值不在 $A$ 中的限制并不是很好满足，于是] 我们考虑容斥。现在需要求出 每种 有些集合最小值必须在 $A$ 中、其他集合随意 的方案数。这个“每种”刚好和状压契合，为了防止对于每一种都重新 DP，我们改状压的状态，某一位上是 $1$ 表示这个集合中的最小值必须在 $A$ 中，只填这些集合。其他的集合是随便填的，所以我们之后把没填的数拿出来求个 [全排列数] 乘上去即可。

为了一填就填满一整个集合，我们从大到小枚举集合中的数，每次要填就填枚举到的那个数和大于它的还剩下的数，方案数是容易用 [[[排列数]]] 表示的。值得一提的是状压的状态刚好也表示填了的数的个数，于是不用在状态里额外记填了多少个数（其实也就是说记填了哪些集合，因为每个集合的大小是确定的，所以填的数的个数也就知道了，只是这里可以方便地直接用）。

注：这道题的这篇题解是我在做完这道题的几天后写的，可能有些忘了，写的时候也没看之前的代码，如果有错误请指出，抱歉。

2024.11.27

P3262 [JLOI2015] 战争调度

层数小想到状压，但一个一个叶子结点的处理太慢了，考虑到满二叉树的优美性质，我们还是考虑树形 DP。

做法看起来像是神秘暴力 + 树形背包。但实际上是状压 + 树形背包 来设状态。

设 $f_{u,s,i}$ 表示以 $u$ 为根的子树，上面结点（$u$ 的祖先，包括它的父亲）压缩后的状态是 $s$（每一个二进制位表示这个结点是打仗还是种田），底下有 $i$ 个 叶子 结点打仗的最大贡献度之和。

具体写的时候没有在 DP 数组里记 $s$，而是在树上直接暴力枚举 $s$，跑树形背包。

对于一个以它为根的子树大小为 $2^k-1$ 的点，$s$ 的个数是 $2^{n-k}$（它以及它下面是 $k$ 层，而一共有 $n$ 层，所以上面有 $n-k$ 层），$i$ 的个数是 $min\{2^{k-1},m\}$（$2^{k-1}$ 是叶子结点个数）。

我们不妨拿 $2^{k-1}$ 来分析，这样分析出来的时间复杂度不会更小。

那么每个结点的状态数就是 $2^{n-k}\times 2^{k-1}=2^{n-1}$，总的状态数就是把每个点的状态数加起来，因为每个点的状态数都相同，所以就是每个点的状态数乘结点总数，即 $2^{n-1}\times (2^n-1)=2^{2n-1}-2^{n-1}$。

另外要注意时间复杂度不直接是状态数，而要考虑转移的复杂度。

对于一个以它为根的子树大小为 $2^k-1$ 的点，它的子结点的叶子结点个数是 $2^{k-2}$，那么这个结点从子结点转移两次，每次的时间是 $(2^{k-2}{)}^2=2^{2k-4}$。

不会分析了。QwQ

2024.11.27

CF1153F Serval and Bonus Problem

显然可以把 $l$ 当成 $1$ 来处理（[缩放]），最后再乘 $l$。现在只处理 $l^{\prime }=1$ 的情况。

被覆盖长度期望 可以被转化为 任意点被覆盖的概率。

此题中，这样转化之后，再把概率转化为方案数。

在长度为 $1$ 的线段上随机撒点形成区间，再随机撒一个点，要求它被覆盖至少 $k$ 次，求方案数。

这 $2n+1$ 个点（包括那个被覆盖的点）是随机撒的，重复的概率为 $0$。我们把它们（包括那个被覆盖的点）排序后从左往右依次加入，把 $2n$ 个配对成区间。

不妨设想是括号匹配，那么这个点就要在至少 $k$ 对括号中。

可以 DP 了。状态：$f_{i,j,0/1}$ 表示填了前 $i$ 个点，还有 $j$ 个点（左括号）没匹配，没选 / 选了被覆盖的那个点 的方案数。注意这个被覆盖的点是包含在这 $i$ 个点中的，却不包含在这 $j$ 个点中。

转移有三种：这个点是那个被覆盖的点（选这个点要求前面没匹配的点有 $\ge k$ 个）、这个点和前面匹配、这个点不和前面匹配。

因为我们要用方案数来算概率，而排列的总方案数是 $(2n+1)!$，最后还要乘 $l$ [放大] 回去，所以最后的答案是 $\frac{f_{2n+1,0,1}}{(2n+1)!}\cdot l$。

参考（从那里学的）：CF1153F - Serval and Bonus Problem(概率dp) - limil - 博客园 (cnblogs.com)。

2024.11.27

P4042 [AHOI2014/JSOI2014] 骑士游戏

[不清楚 DP 顺序，无脑做就有环。

于是类似 Dijkstra 最短路，贪心确定 DP 顺序，用堆来维护。]

2024.11.27

AT_arc073_d [ARC073F] Many Moves

先设一个暴力的 DP 状态，$f_{i,j,k}$ 表示当前处理了前 $i$ 个要求，两个棋子分别在 $j,k$ 的最小代价。

去除状态中多余（已表示）的信息：发现一定有一个棋子在 $x_i$，那么我们设 $f_{i,j}$ 表示当前处理了前 $i$ 个要求，一个棋子在 $x_i$，另一个棋子在 $j$（根据题目，$j$ 可以等于 $x_i$）的最小代价。

转移有两种：移动哪个棋子。

写转移，发现可以用 [整体 DP 优化]，[用线段树优化即可]。

2024.11.27

AT_abc221_g [ABC221G] Jumping sequence

[曼哈顿距离转切比雪夫距离，从而把两维拆开（发现每一步某一维上的选择对另一维的并没有影响（没有限制））。]

[稍微推一下式子，] 跑 01 可行性背包，于是可以用 bitset 优化。[（不知道能不能不推式子，平移使得下标全部非负，直接跑 01 可行性背包。）]

[倒序求出背包的一种方案。]

好像特判细节不少。

2024.11.27