（长期更新）DP 优化 学习笔记
- 空间优化
- 时间优化
- 状态方面的优化
- 转移方面的优化
- 快速寻找决策点
- 批量转移
- 从一批状态转移来
- 转移到一批状态
纯粹的空间优化
滚动数组 & 类似滚动数组的
本质：某个时刻，某些状态现在和以后都不会再被用到了，于是让新的状态覆盖掉这些状态。
滚动数组常用取模（特殊的：奇偶）来实现。
时间优化 & 时间和空间一起优化的（综合优化）
单调队列优化 DP
作用：去除多余点 来 快速寻找决策点。
状态转移方程：
- 可能还有 只与 \(i\) 有关的数值、其他只与 \(j\) 有关的数值 和 常数 参与运算。总之这些都是定值（\(j\) 走过了，\(f _ j\) 就成定值了）。
- \(\max\) 和 \(\min\) 同理，这里以 \(\min\) 为例。
- \(l _ i\) 和 \(r _ i\) 都随 \(i\) 增大而不降（这里假定是 \(f _ 1\) 到 \(f _ n\)，且 \(r _ i < i\)）。
发现 \(l _ i\) 和 \(r _ i\) 都是单调不降的，\(l _ i\) 右移相当于进队，而 \(r _ i\) 右移相当于出队。于是直接用队列来维护。
前面的点显然会比后面的先出队，那么如果后面的点已经进队了且比前面的点优，这个前面的点就永远不会作为决策点了，于是直接让它出队即可。发现这样的过程形成了一个从前往后单调递增的队列，它就是单调队列。出队的过程其实就是在队尾踢点直到踢不动。队头的点即是决策点。
在线。
斜率优化 DP
作用：去除多余点 来 快速寻找决策点。
单调队列优化 DP 无法处理 \(c _ i \times c _ j\) 这种与 \(i\) 相关的和与 \(j\) 相关的乘起来的情况。这时就需要斜率优化 DP。
状态转移方程：
- \(\max\) 和 \(\min\) 同理。
下面两个方向都是在线（上面方程里和 \(j\) 有关的可以换成 \(f _ j\)，总之走过了就变成定值了）。
有两个方向：
1. 李超线段树（维护直线）
应用范围更广，但速度稍慢。
去 min 推式子。
把与 \(j\) 相关的作为直线信息，把与 \(i\) 相关的作为点的信息（直线 \(x = \ldots\)）
应用范围更广，但修改 2 只 log，查询 1 只 log。
可以放到树上，李超线段树合并。
2. 队列（维护凸壳）
速度较快，但限制更多。
一些细节可能搞忘了，哪天复习来补。
把与 \(j\) 相关的作为点的信息，把与 \(i\) 相关的作为直线的信息。
相当于拿一根已知斜率的直线去过每个点，看截距的最小值。那么只需要从下往上移动这个直线，看第一个过的点是哪个。
[斜率 单增 / 单减 时，可以用单调队列来维护凸壳。斜率单增且取 \(\min\) 是维护下凸壳，斜率单减且取 \(\max\) 是维护上凸壳。总之就是考虑斜率单增还是单减，取 \(\max\) 还是取 \(\min\)，四种情况，画图（也许也可以在脑子里想象出图）分析。]（？）
[斜率没有单调性的时候也可能可以，只要点的横坐标有单调性就可以用队列维护凸壳，找决策点时在凸壳上二分。也要注意思考是上凸壳还是下凸壳。]（？）
[实现细节上，队列要保证一定有一个点在里面。]（？）
[要注意开始的时候那个位置 \(0\) 的取值，不一定直接是 \(0\)，要为了之后得到正确的值而取值。]（？）
还有关于精度、[\(0\)]（？？？？？；斜率？？？？？）的问题，待补。
听 xjy 说推出来的式子可以不止一种，只要斜率单调即可。
单调队列优化 DP、斜率优化 DP 的观察技巧
- 拆式子，变成能进行这两种优化的形式。
- [换 维度枚举顺序。]（？）
2024.?.?
2024.10.23
