（长期更新）DP 优化 学习笔记

• 空间优化
• 时间优化

---

• 状态方面的优化
• 转移方面的优化
  • 快速寻找决策点
  • 批量转移
    • 从一批状态转移来
    • 转移到一批状态

---

纯粹的空间优化

滚动数组 & 类似滚动数组的

本质：某个时刻，某些状态现在和以后都不会再被用到了，于是让新的状态覆盖掉这些状态。

滚动数组常用取模（特殊的：奇偶）来实现。

时间优化 & 时间和空间一起优化的（综合优化）

单调队列优化 DP

作用：去除多余点 来 快速寻找决策点。

状态转移方程：

$$f_i=\underset{l_i\le j\le r_i}{min}{f}_j$$

• 可能还有 只与 $i$ 有关的数值、其他只与 $j$ 有关的数值 和 常数 参与运算。总之这些都是定值（$j$ 走过了，$f_j$ 就成定值了）。
• $max$ 和 $min$ 同理，这里以 $min$ 为例。
• $l_i$ 和 $r_i$ 都随 $i$ 增大而不降（这里假定是 $f_1$ 到 $f_n$，且 $r_i<i$）。

发现 $l_i$ 和 $r_i$ 都是单调不降的，$l_i$ 右移相当于进队，而 $r_i$ 右移相当于出队。于是直接用队列来维护。

前面的点显然会比后面的先出队，那么如果后面的点已经进队了且比前面的点优，这个前面的点就永远不会作为决策点了，于是直接让它出队即可。发现这样的过程形成了一个从前往后单调递增的队列，它就是单调队列。出队的过程其实就是在队尾踢点直到踢不动。队头的点即是决策点。

在线。

斜率优化 DP

作用：去除多余点 来 快速寻找决策点。

单调队列优化 DP 无法处理 $c_i\times c_j$ 这种与 $i$ 相关的和与 $j$ 相关的乘起来的情况。这时就需要斜率优化 DP。

状态转移方程：

$$f_i=\underset{1\le j\le i-1}{min}{a}_i+b_j+c_i{c}_j$$

• $max$ 和 $min$ 同理。

下面两个方向都是在线（上面方程里和 $j$ 有关的可以换成 $f_j$，总之走过了就变成定值了）。

有两个方向：

1. 李超线段树（维护直线）

应用范围更广，但速度稍慢。

去 min 推式子。

$$f_i-a_i=c_j{c}_i+b_j$$

$$y=kx+b$$

把与 $j$ 相关的作为直线信息，把与 $i$ 相关的作为点的信息（直线 $x=\dots$）

应用范围更广，但修改 2 只 log，查询 1 只 log。

可以放到树上，李超线段树合并。

2. 队列（维护凸壳）

速度较快，但限制更多。

一些细节可能搞忘了，哪天复习来补。

$$b_j=-c_i{c}_j+f_i-a_i$$

$$y=kx+b$$

把与 $j$ 相关的作为点的信息，把与 $i$ 相关的作为直线的信息。

相当于拿一根已知斜率的直线去过每个点，看截距的最小值。那么只需要从下往上移动这个直线，看第一个过的点是哪个。

[斜率 单增 / 单减 时，可以用单调队列来维护凸壳。斜率单增且取 $min$ 是维护下凸壳，斜率单减且取 $max$ 是维护上凸壳。总之就是考虑斜率单增还是单减，取 $max$ 还是取 $min$，四种情况，画图（也许也可以在脑子里想象出图）分析。]（？）

[斜率没有单调性的时候也可能可以，只要点的横坐标有单调性就可以用队列维护凸壳，找决策点时在凸壳上二分。也要注意思考是上凸壳还是下凸壳。]（？）

[实现细节上，队列要保证一定有一个点在里面。]（？）

[要注意开始的时候那个位置 $0$ 的取值，不一定直接是 $0$，要为了之后得到正确的值而取值。]（？）

还有关于精度、[$0$]（？？？？？；斜率？？？？？）的问题，待补。

听 xjy 说推出来的式子可以不止一种，只要斜率单调即可。

单调队列优化 DP、斜率优化 DP 的观察技巧

• 拆式子，变成能进行这两种优化的形式。
• [换 维度枚举顺序。]（？）

2024.?.?
2024.10.23