2024.10.2 总结（集训；DP）
一些要注意的
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访问之前判会不会数组越界。（背包）
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不要忘了 DP 初值，如：背包初值。
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稍微推柿子（又如 昨天比赛 那道 T4）。https://www.cnblogs.com/xsl19/p/abc221g.html#:~:text=ABC221G Ju
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数组开够。可以适当地多开一点。但是不要开炸了（比如开很多个小矩阵的时候）。
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用同一个数据结构（比如数组或线段树）维护当前的 DP 数组时，分清楚什么要查之前的（要放在修改前面），什么要查之后的（要放在修改后面）。如：AT_arc073_d [ARC073F] Many Moves（我的代码）。
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在线段树内部写，让代码更好看。如：https://www.luogu.com.cn/article/oy96wpf2
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不要忘了缩点后一个点维护的信息可能是多个点、多条边的。
（可能？）要算上（要考虑）。 -
考试的时候，先通读一遍题，然后想出一道写一道。不要堆很多想法但不写。不要没想清楚就自以为会了，要想清楚[细节]（？？？）。防止没想清楚以为自己想好了；防止 写、调、改 不完。（昨天下午比赛的教训）
DP
（这种是引用的水哥课件里的）
- 相对简单：优化[（如：DS 优化、状态设计优化）]（？？？）。
- 相对较难：单调性。
- 相对更难：[找]（？）性质。
T1 P2339 [USACO04OPEN] Turning in Homework G
……时间之后 倒过来 -> ……时间之前。-> 二分结束时的时间（二分答案）。（？？？（还没懂））
T2 P8867 [NOIP2022] 建造军营
[割边问题。]（？）-> 边双缩点，得到一棵树。
树上选连通块。注意不在连通块里的边也可以选！
两种做法。我的做法是 DP 中维护的东西乘 \(2 ^ {- 连通块中边的数量（不完全是，新图可能有重边，重边只要不是一条都不选就行）}\)（注意有负号），最后乘 \(2 ^ {边的总数}\)。
另一种做法。
注意：点 u 是缩完后的点。自身内部有点数和边数
每种状态涵盖的情况太多不太好转，一般就加状态数或者增加限制。
一个一个子结点更新。
T3 CF1153F Serval and Bonus Problem
看数据范围猜做法、状态。
用 \(l\) 没必要，不妨用 \(1\)，最后乘 \(l\)。
结论：长度为 \(1\) 的线段，随机撒 \(n\) 个点，两个相邻点之间（[开头结尾这两个点也考虑进去]（？？？？？））距离的期望是 \(\frac {1} {n + 1}\)。（？？？）
T4 AT_abc221_g [ABC221G] Jumping sequence
直接背包的话 \(x, y\) 都要丢进状态，状态太多，不好做。（实际上我还不知道能不能背包）
[[（曼哈顿距离转）]（？？？？？？？（好像是我觉得））切比雪夫距离：把 x 和 y 联系起来。]（好像是水哥原话的意思）发现转换后横纵坐标都可以任意变，于是可以把它们分开处理。
曼哈顿距离与切比雪夫距离相互转化：https://oi-wiki.org/geometry/distance/#曼哈顿距离与切比雪夫距离的相互转化
距离：曼 转 切。（？？？？？）
等价转化来减小范围（减少状态数） （使状态的两维独立）
T5 AT_arc073_d [ARC073F] Many Moves
什么都想不出 -> 设计一个复杂的 DP -> 简化。
在这题中：\(f _ {i, j, k}\) 表示处理了前 \(i\) 个 \(x\)，一个棋子在 \(j\)，另一个棋子在 \(k\) 的最少时间。
发现一定有一个棋子在 \(x _ i\)。于是可以去掉一维，\(f _ {i, j}\) 表示处理了前 \(i\) 个 \(x\)，两个棋子分别在 \(j\) 和 \(x _ i\) 的最少时间。
写转移，发现可以复用 DP 数组，拆绝对值（分讨），线段树优化即可。
T6 P4042 [AHOI2014/JSOI2014] 骑士游戏
转换成图。
（听说[要建虚点，倒着跑最短路，即用最短路跑 DP]（？？？？？？？），但我没懂。）
不存在一个点自己更新自己，但是仍有更新顺序的问题。（\(f _ i\) 的初值是魔法攻击的体力消耗值）两种攻击的消耗都是正的，于是发现对于某个 \(i\)，只有对它会变出的所有 \(j\)，\(f _ j\) 都比 \(f _ i\) 小时才能用这些 \(f _ j\) 更新 \(f _ i\)，于是用小根堆维护即可。这个做法本质上是 Dijkstra 算法的一个变形，是贪心得到 DP 的转移顺序。（这部分绝大部分来自：https://www.luogu.com.cn/article/pcsgf8yi ；水哥的课件里也写的这个做法）
用最短路算法的变形跑 DP：
- 可贪：Dijkstra。
- 不可贪：SPFA。
似乎发现了一个 Dijkstra 最短路做法：https://www.luogu.com.cn/article/fr94yxlq
另有须队的要建虚点的最短路（听说是点分了两类，虚点和普通点）做法。
T7 P1912 [NOI2009] 诗人小G
式子复杂拆不开不好优化 -> 想（可猜）（可打表来看）决策单调性 -> （可以）分治。
分治：状态 \(i\) 的区间、决策点的区间，每次在 \(i\) 的区间里找中间点 mid 来分治，[注意决策点要把当前决策点包含进新的两个区间里（不是完全把区间分成两半）]（？）。分治本身的时间是 \(O(n \log n)\) 的，因为 \(i\) 的区间从中间分，得到的那棵树很规整，一共就 log 层；决策点区间得到的树可能不规整，但分到 \(i\) 的区间长度为 \(1\) 时就不会继续往下分了，所以层数和 \(i\) 的区间那棵树一样，也是 log 层；每一层的时间复杂度大概是 \(n\)。
（上面的时间复杂度分析没有考虑找每个决策点的过程中会不会带 log，是认为移动一次是 [\(O(1)\)]（？）来分析的。）
决策单调性好像还有另外的做法。
Update: 这题不能用上面的分治。因为转移方程里 \(f _ i\) 需要用前面的 \(f _ j\) 来更新，[除非区间中间的点是整个序列的开头]（？？？），没法直接求区间中间的 \(f\)。
T8 P3262 [JLOI2015] 战争调度
数据范围（实际上是与哪些有关，“哪些”很少，即把有关的压进状态，状态较少，可以处理）很小 -> 状压。
T9 CF868F Yet Another Minimization Problem
划分为一些子段的问题，套路设状态。
有决策单调性。
还没懂。
T11 P4749 [CERC2017] Kitchen Knobs
（看文字）
- 转化题意。循环、周期，考虑取模。一次操作是区间加任意值，使得每个数 \(\bmod k = 0\)，问最少多少次操作。
- 区间加 -> 差分，转成两个点一加一减。容易证明充要条件是差分数组中每个数 \(\bmod k = 0\)。
- 整一个暴力六维状态 DP。
- 贪心优化，\(n ^ 6\) -> \(n ^ 3\)。
T12 CF908G New Year and Original Order
数位 DP，但不好直接统计答案。
拆贡献，对每种数字分别算它的贡献。
T13 P8392 [BalticOI 2022 Day1] Uplifting Excursion
范围较大。[贪心]（？？？）求区间（范围），再 DP。
之前也遇到过有问题的 DP 求上界再搜索的题。这种题大概是用一种算法求范围在用另一种更求准确的答案。
T14 P4007 小 Y 和恐怖的奴隶主
数据范围里，有值很小，有值很大 -> 考虑矩阵快速幂（转移状态）。
多组数据但转移矩阵相同，初始是向量，预处理出转移矩阵的 [\(2\) 的幂]（？？？？？？？） 次方。
向量乘矩阵似乎是 \(O(n^2)\) 的。
直接并行运算
似乎是指把多个向量放到一个矩阵里去算。
完结撒花。
2024.10.2 & 2024.10.3
