2024.10.1 总结（集训；数据结构 主要是线段树）

XK 又来给我们讲课了。开心！

1. Baka's Trick

两种理解：

• 双栈模拟队列。
• [找到若干个划分点，使得每个区间包含恰好一个划分点。维护划分点到划分点段的前缀、后缀信息。在在线的实现中，在队列中维护仅仅一个划分点，维护它到前面每个点和它到后面每个点的信息。当这个划分点出队时，把队列中最后的点作为新的划分点。画图理解。]（？？？）

在网上意外发现的（好像是暴力重构）：https://www.cnblogs.com/xiaoziyao/p/17413029.html

2. 在线 & 离线

• 在线：比离线多了时间维。时间维 -> 对操作（包括询问）顺序的限制。
• 离线：去掉时间维。

3. 01 反转的一个 trick

用 2 棵平衡树来维护，一棵只维护是 0 的点，另一棵只维护是 1 的点。

01 反转操作相当于交换两棵平衡树上的某段区间。

4. 线段树区间二分

线段树子树二分直接做即可。但线段树区间二分有区间的限制，不好直接做，考虑转成线段树子树二分。

于是我们把这段区间在线段树上对应的 [log]（？）个结点取出来。依次看答案是否在当前结点，如果不在就接着看下一个结点，如果在就直接在以这个结点为根的子树里二分（线段树子树二分）即可。

时间是单 log 的，因为找线段树子树二分的起点是 log，线段树子树二分也是 log。

实际实现不用真正把区间对应的 [log]（？）个结点都抓出来，外层的找起点可以在线段树上直接找。见下面例题我的代码或我参考的那篇题解的代码。

例题：P11071 「QMSOI R1」 Distorted Fate。

5. 空间优化

• 转成只有 01[（或者类似，总之很小[/很少]（很少 -> 离散化转成很小））]（？），用 bool 之类的东西来存。只有 01 就可以直接用 bitset 了。（缩小值域）
• 上面一条的一个另外的东西，比如三进制的状态离散化之后可以转成二进制（好像是插头 DP 板子里[要]（？？？）用）。（缩小定义域）
• 复用优化空间。
• 离线复用优化空间。

6. 关注点权正负 贪心

[如果点权都是正的（或者非负），想想贪心。]（？？？？？）

例题：[P10641]（？）。

7. xor 有结合律，还能拆

8. 树上距离，转成 dep 的和差（dep 不一定是深度，可以把 和根之间的路径上的边权和 作为深度）。有时需要分讨 lca。

9. 有的题要考线段树的结构。一段区间在线段树上取出的结点参考非递归线段树。

10. 分治、合并

• 分治（或划分）和合并互为对方的逆（反过来的过程）。这一点可以用于转化题意、分析时间复杂度。

• 如果一次分治时的复杂度只看较小的一边，那么这个分治就是逆的启发式合并。

• 分治不一定要按区间中间那个 mid 分开，也可以按区间最值来分开。

上面两条的例题：。

11. 不好直接做的限制

“刻画”

维护一些信息，把限制转化成关于这些信息的不等式。

把不等式变成关于 i 的东西都在一边、关于 j 的东西都在另一边的样子。（这里以优化 DP 为例，可能可以从 j 转移到 i，这个转移有限制）

于是问题被转化成了二维数点问题。

扫描线（按照某一维排序），将二维数点问题转化为一维数点问题。

例题：XK 今天的抓的比赛里的 T4。

12. 抓 排列的性质

用好排列的性质。

• 数不重复。
• 调和级数。
• [下面这条（1 到 n 枚举倍数的倍数）。]（？？？？？？？）
• mex（这里认为是最小的没出现的 正数）转 min。（比如区间 mex，变成排列中不在这个区间里的数的 min）

例题：好像是 XK 今天的课件里 EX 部分的第一题。

13. [1 到 n 枚举倍数的倍数]（？？？？？？？）

[时间 \(O(n \log ^ 2 n)\)。]（？？？？？？？）

14. DP 中，关注状态数、转移数

如果很少可能就会有特殊处理方法。

例题：好像是 XK 今天的课件里 EX 部分的第二题。

15. 维护一些信息，用它们来判定

例题：好像是 XK 今天的课件里 [IOI] [Seats]（？？？）那道题。

16. [蒙特卡洛判定]（？？？？？？？）

必要条件。[（充分条件好像也可以（还没有分析概率），只是多次做的时候不太一样（有一个可行就可行））]（？？？？？？？）

正确概率的分析。

做多次来提高正确概率。

例题：今天下午比赛的 T1。

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lr 推的题：https://qoj.ac/problem/6504

2024.10.1