2024.9.13 总结（考 DP）
（实际上是 2024.9.14 写的）
本来以为是考 DS 的。（）
T1
题目里给的那个性质可能是来干扰的。
异或上右移一位的数，其实就是除了第一位（最左边的），算贡献的时候都要看这一位异或前一位是不是 1。于是随便线性 DP，状态里记一下当前位填 0 还是 1 就行了。
DP 数组 状态的第一维 可以不要，省空间。
T2
板子。
ST 表、线段树、猫树等应该都可。我写的线段树。
当然如果用 ST 表的话应该也能算是 DP。
（其实用线段树或者猫树似乎也都算 DP 吧？）
T3
神秘。但是看题面又感觉有点点经典。
要求最后每个房间有 0 或 4 或 7 个人。
先想了下有没有什么贪心的结论，发现自己不会贪心，但是人的移动要“就近”。
发现一个显然的结论——可以把人的移动看成 人一个房间一个房间地移动。于是考虑 DP，从前往后看每个房间，只把前面房间里的人往后移，后面房间里的人往前移就相当于前面向后面移负数个人。直觉感觉这样直接用负数是对的，想了一下好像确实是对的。
于是设 \(f _ { i , j }\) 表示处理了前 \(i\) 个房间，前面的房间（\(1\) 到 \((i - 1)\)）都满足了要求，\(i\) 房间有 \(j\)（可以为负数）人，此时的最小代价之和（最小移动步数之和）。枚举房间 \((i - 1)\) 最终要剩几个人来转移。
发现 \(j\) 的范围好像很大，而且有些 \(f _ {i, j}\) 用不到（无法被走到）。于是用 unordered_map 来记 \(f\)。滚动数组滚掉第一维。
现在还是过不了。考虑剪枝。
这些内容可能不对：如果一个位置有 \(\geq 14\) 个人，那么就一定可以把其中 \(7\) 个放在之前的房间里，让这 \(7\) 个人继续往后走一定是不优的。如果一个位置有 \(\leq - 14\) 个人，那么也是这样的，因为这相当于 从右往左走，和 从左往右走 在这一点上是一样的。
于是就考虑如果 \(- 14 \leq j \leq 14\) 才要 \(f _ {i, j}\) 这个状态。这样就能过了。
实际上都这样了可能就不用 unordered_map 了。但是我是直接在 unordered_map 版本上改的（现在 AC 了），没试过不用 unordered_map。
这个做法（用负数）我大概是从高精度减法里悟到的。
[题解做法类似。但是它记的是从上一个房间到这个房间的人数（也可以为负），更为优秀。（\(j\) 似乎是 \(- 7\)（包含）到 \(7\)（包含）的）。]（？？）
T4
注意仔细审题：一个人如果装饰，装饰的是一个长度不超过 \(x\) 的区间，且 \(p\) 在这个区间中。
数据范围比较奇怪，发现可以 \(O(nm)\)。
那么对于每个人，对于所有他能装饰的区间，在右端点上考虑左端点的范围。
题目是显然的区间分割类 DP。设 \(f _ i\) 表示处理了 \(1\) ~ \(i\) 位置的最大价值和。
对每个点，枚举每个人的每个可装饰区间，记当前的可装饰区间为 \([j + 1, i]\)，转移方程为：
\(f _ i = \max ( f _ j + (i - j) * y )\)
考虑优化。把 \((i - j) * y\) 拆成 \(i * y - j * y\)。求 \(f _ j - j * y\) 的最大值即可。用 \(m\) 棵线段树来优化（因为有 \(m\) 个 \(y\)）。
时间好像是 \(O(nm\log n)\)。
但是这个做法还没过，不知道为什么。
题解的[单调队列]（？）做法时间复杂度好像更优。还没学。
总结（经验教训）
- 如果不会优化某个 DP 就拆 DP 式子，把与 \(i\)（当前点）相关的和与 \(j\)（从 \(j\) 转移来）相关的分开，可能就能优化了。（T4）
- 要学会从学过的东西里来迁移。（T3）
- DP 也可以剪枝（不要一定不优的状态）。（T3）
2024.9.14
