2024.8.31 总结（集训 考 DP）

今天依然是上午考 DP，三个小时四道题。

我觉得今天的题目较昨天更简单。考场上就想出了四个题，但是我以为 T1 $O(n^3)$ 的做法是暴力，想了好久 T1 也没想出更好的做法，于是开写，然后造数据测了测，发现跑得比较快（极限数据应该也是能在我的位置上那台电脑里 1s 内过的）。

结果出分是 330，前三题都 100，T4 我的 map 做法有点傻，空间很大，加上写得劣导致时空消耗大，我被卡到了 30 分。

把在 map 里重复访问的东西丢到同一个变量里，又交了一遍，就有 90 分了。最后一个点空间炸了。

把有一个地方访问的时候改成了 .count() 防止多开空间，结果最后一个点没有炸空间了，变成 TLE 了。（好像是这样的）

都准备写 FHQ-Treap 了，结果把 map 改成 unordered_map 就过了。

下午讲评没多少内容。开始讲的时候大家貌似都改了好多题了。

T1

出题人非常善良地给了图，可以参考图来思考。

容易发现如果环上的两个人碰杯了，那么他们把这个环分成两个部分，这两个部分之间的人互相不能碰杯。

考虑逆时针（顺时针也可，但题目是按逆时针给的）地把每个人的酒写成一个序列，暂时不考虑破环为链。发现上面的限制相当于一个区间，区间内的和区间外的人互相不能碰杯。

发现相当于每两个人形成了一个区间，要选择一些区间，使得它们要么为包含关系，要么不相交。

感觉很像要区间 DP。不用破环为链。

注意到区间 DP 里合法的区间（这里的区间和前面提到的“每两个人形成了一个区间”那个区间不是一个东西）长度必须是偶数。所以区间 DP 的最外层和最内层循环都[要]（还是“可以”？）每次 + 2。而且区间 DP 的三重循环枚举到的东西实际上比 $n^3$ 个少。因此虽然是 $O(n^3)$，但跑得比较快，[能 $1s$ 过 $n=1000$ 的数据]（？）。

T2

考虑三份权值和相等就是要让三份的权值和都等于总权值和的 1/3（后面我把它成为 sum / 3）。

我的做法（听说题解也是这个）：
考虑切第一刀的时候，分两种情况：

1. 子树权值和为 sum / 3，其他部分为 sum / 3 * 2。此时要在其他部分再切一刀，切下一个权值和为 sum / 3 的子树。
2. 子树权值和为 sum / 3 * 2，其他部分为 sum / 3。此时要在这棵子树里再切一刀，切下一个权值和为 sum / 3 的子树。
   树形 DP 一下就差不多了。第一种情况考虑枚举两个切下的子树的根的 LCA，看这个 LCA 的不同子树。第二种情况我是反过来处理的（先找那个 sum / 3 的，再在它的祖先里找 sum / 3 * 2 的）。注意写法和细节，可以见我代码。

lr 的做法（感觉更简洁，但是正确性感觉有点怪，但是用上面的做法来说明好像很对）：
遇到 sum / 3 的子树就直接把它删掉。

T3

KMP + [线性 DP]（？）板子，比较简单，个人认为是这场最简单的一道。

T4

模仿 LIS 的 DP 做法。设 $f_{i,j}$ 表示最后一个位置是 $i$，倒数第二个位置是 $j$ 的最长[斐波那契子序列]（？）的长度。

转移：

$$f_{i,j}=max\{f_{j,k}\}+1(c_k+c_j=c_i)$$

要特殊处理子序列长度为 1 和 2 的情况。

直接枚举 $k$ 不行，由 $c_k+c_j=c_i$ 得 $c_k=c_i-c_j$。于是对每个 $i$，把 $c_j$ 相同的 $f_{i,j}$ 丢到一个桶里取一下 max 即可优化转移。

但是值域太大，于是用 map 之类的。

但是我好傻，没想到用 map 来做离散化。用 map 离散化的话 map 里只有 $n$ 这个级别个数的数。而像我对每个 $i$ 都开个 map，一共存了 $n^2$ 级别个数。这导致了空间和时间上都消耗较多。

%%% yt 第一个过 T4，并给我[们]（？忘了）讲了 map 离散化的做法。

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• 今天胡老师还给我们讲了怎么算空间。

• 另外还有一些同学出错的点。还有我 map 做法挂成 30 分的各种问题。

• 我考场上在草稿本上写了个检查的流程。

上面三条来不及整理了，去睡觉了qwq。

2024.8.31