2024.8.30 总结（集训 考 DP）

上午三个多小时考四道题的 DP。

赛时会的分：[100]（？） + 100 + [30]（？） + 100。

估分：100 + 100 + 0 + 100。

实际分：10 + 100 + 0 + 100。

挂巨量的分，挂了 120 分。

下面是一些值得注意的点：

T1

就是分组背包。DP 数组下标要考虑负数可以直接全体加一个值变成非负的，[或者用 map 之类的]（？）（& 不知道 unordered_map 会不会被卡）。

我赛时的做法是每个挂钩的位置加上 15 变成非负的，然后最后要看质量之和 * 15 的地方的 DP 值。感觉可能是对的，不知道为啥挂了。

T2

数位 DP 的基础题，做法比较板。

注意 0 算不算贡献；注意是 < x 还是 <= x；注意 dig 数组不是输入的字符串（代表数），而是那个字符串的 1 ~ ... 位翻转后的结果（就是要注意是从低位到高位存的还是从高位到低位存的）。

对于要不要用高精度，可能可以先写一份用 long long 之类的的代码，然后拿它跑极限数据看会不会爆 long long。但是这样会不会爆成负数又加回正数从而导致判断失误啊？

T3

感觉是非常巧妙的背包题。

数据范围较小，想：

• 状压
• 搜索
• 高维 DP

此题即高维 DP。

有序枚举颜色来填以满足第一种限制（同一行的两个相邻点，左点的颜色 <= 右点的颜色）。此处我从小到大枚举颜色。

设 \(f _ { i, a, b, c, d }\) 表示当前填了第 \(0\) 到 \(i\) 个颜色，\(4\) 行分别填到第 \(1\) 位到第 \(a, b, c, d\) 位的方案数。

现在考虑第二种限制怎么满足。假设要求 \(a\) 处理的行上的第 \(x\) 位和 \(b\) 处理的行上的第 \(y\) 位颜色相同。那么填某一种颜色后，要么 \(a < x\) 且 \(b < y\)，要么 \(a \geq x\) 且 \(b \geq y\)。那么可以预处理出哪些状态是不能要的，每一种颜色填完后就把这些状态的方案数赋为 0。

那么现在考虑怎么转移。考虑一位一位转移，外层循环枚举颜色，内层枚举转移哪一行的哪一位，像完全背包那样转移。[本质是高维费用的完全背包，每一个物品是在某一行往右多填一位，费用是 1。]（？）于是可以把 \(i\) 那一维去掉。

[std]（？）的代码写得很好看。可以参考。我补的代码也是这种写法。

启发：这种多个并列的东西（如本题中的 \(4\) 行），可以考虑高维 DP，每个开一维。

T4

题解好像是状压 DP，用矩阵快速幂来优化。[感觉和我的本质上应该差不多。]（？）

我的做法：
两行为一个状态，把状态作为点，根据合法转移在状态之间连边，用邻接矩阵记录，跑邻接矩阵的快速幂再统计答案即可。不管不合法的状态来节省时空。
启发：这种状态转移求路径数的 DP 可以转换成图论题用邻接矩阵快速幂做。

2024.8.30