[做题笔记 #4] 拉格朗日插值

合集 - 做题笔记(10)

1.[做题笔记]（2024 年暑假）Ynoi2024-08-29

2.[做题笔记 #4] 拉格朗日插值2024-08-29

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收起

原来是拉格朗日插值优化 DP 做题笔记。现在整合了一下。

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CF622F The Sum of the k-th Powers

拉插优化前缀和板子 & 线性（连续点）拉插板子。

一个多项式差分后次数 $-1$。前缀和是差分的逆运算，因此一个多项式算前缀和后次数 $+1$。

要求的就是前缀和的某一个点值。原来是 $k$ 次，算了前缀和是 $k+1$ 次。$n$ 次的多项式用 $n+1$ 个点可以唯一确定，那么用 $k+2$ 个点来拉插即可。

上面这些分析能在拉插题中类似地运用（比如在 拉插优化值域 DP 中）。

要用线性（连续点）拉插。

2024.11.1

以下来自 2024.10.8 做题总结。

用了 类似阶乘逆元 的 线性求随意一些数的逆元（离线）。

注意：拉插的式子不能加绝对值（此题我的做法中，其他情况我不知道）。还不知道什么原因。

有负的照样处理非负的阶乘，最后算 ans 的时候乘一个 -1 的幂即可。

$x$（此题中的 $n$）$\le m$（$x_{1\dots m},x_i=i$，此题中 $m=k+2$）时直接得到答案，不要拉插。$x>m$ 时再拉插，此时拉插式子的分号上面可以直接预处理 $x$ 的下降幂再乘单个数的逆元。

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CF995F Cowmpany Cowmpensation

拉插优化值域 DP 板子。

总结：这种 DP 的状态里一般附加了很大的值域，要在值域上算前缀和，但中间的一些位置的前缀和是不需要的，我们只想要一些关键点处的前缀和。由初值和 DP 方程发现每排状态的值都是次数不高的多项式，于是用拉插来优化。[这种题的另一种思路是离散化，中间那些被省略的东西用某种方法处理（比如组合数）]（？）。

容易写出 DP 式子，也容易自子孙向祖先证明最后的答案是一个次数不高的多项式。

直接对根处的那一排 DP 值拉插即可。

可以去看雨兔的题解，感觉讲得特别清楚易懂。%%%

2024.11.1

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P3643 [APIO2016] 划艇

分段拉插优化值域 DP 板子。

用了更好些的线性（连续点）拉插写法：对拉插式子里的分子算前缀乘积和后缀乘积，不用算逆元，而是直接夹出来。

总结：拉插可以为不分段的多项式函数插值。而对于分段的多项式函数，我们把每段端点离散化，在 DP 过程中对每一段分别拉插，DP 的阶段每前进 $1$ 就要重新拉插一轮（每轮可能要拉插多次）。分段技巧：把 $[l,r]$ 当成 $[l,r+1)$，这样相邻两端就连续了，把每组 $l$ 和 $r+1$ 拿去一起离散化。细节较多，我可能还没有理解透，具体见代码吧，参考博客 拉格朗日插值优化值域 dp，也参考了其中给出的此题代码。此题仍可以用上一题中所说的“另一种思路”，而且“另一种思路”跑的时间似乎大概是我的拉插写法的 $1/10$。

2024.11.1

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P4463 [集训队互测 2012] calc

序列转集合 & 自定顺序 & 拉插优化值域 DP（能锻炼算多项式次数的能力）。

发现序列的顺序对贡献没有影响，于是可以自己安排某种特定的顺序，最后乘一个排列数得到答案。为了方便，此题中我们采用从小到大的顺序。容易写出 DP 方程。发现像是拉插优化值域 DP，考虑多项式的次数是多少。[初始（f[0] 的那一排）是 $0$ 次]（[勿忘考虑]（？）），[算前缀和 $+1$，乘 $j$ 相当于每一（位）项都 $\times (x-1)$，次数也 $+1$，所以最后的次数是 $2n$]（？？？），用 $2n+1$ 个点值来拉插即可。

注意：

1. 拉插时把 $x$ 在已知点值的范围内的情况判掉，防止整出负数。
2. 模数较小的时候可能加了它还是负的，此时[应该先 % 再加]（？？？？？）（我不太清楚 C++ 负数 % 的机制）。

2024.11.1

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原内容

本来想在洛谷题单里找斜率优化 DP 的，然后发现了一个拉格朗日插值优化 DP 的题单，就点进去尝试了一下。

题单。

于是先看了雨兔的题解，学了 CF995F 的做法，然后 A 了这个题。雨兔题解的链接和我的代码见 CF 上的提交记录。现在正在做后面的题。

P3643 [APIO2016] 划艇

$a_i,b_i$ 的限制看起来像是可以用前缀和拆掉。于是我们设 $f_{i,j}$ 表示处理了前 $i$ 所学校，当前这所派出了 $0,1,2,\dots ,j$ 艘划艇的方案数之和（就是算了个前缀和）。

转移：

$$f_{i,j}=f_{i,j-1}+f_{i-1,j-1}(a_i\le j\le b_i)$$

$$f_{i,j}=f_{i,j-1}(j<a_i\mathrm{或}j>b_i)$$

$$\mathrm{特}\mathrm{殊}\mathrm{地}（\mathrm{优}\mathrm{先}\mathrm{级}\mathrm{高}\mathrm{于}\mathrm{前}\mathrm{面}\mathrm{两}\mathrm{条}），f_{i,0}=f_{i-1,j}（j\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{随}\mathrm{便}\mathrm{取}）$$

问题是 $j$ 的范围太大，不好转移。

考虑能不能拉插。

好像我不会。打算之后学。别人的题解。

2024.8.29