分块、莫队及一些根号方法 总结

第二分块没改出来给我干破防了。提交记录：五彩斑斓的世界（）。

分块、莫队、根号分治的核心

平衡。

• 平衡整块和散块的[时间]（？）复杂度。（分块）
• 平衡修改和查询的[时间]（？）复杂度。（分块）
  • 如 单点加，区间求和：
    分块维护原序列（直接做）：\(O(1)\) 修改，\(O(\sqrt n)\) 查询。
    分块维护前缀和（整块维护整个序列的前缀和，散块维护块内的前缀和）：\(O(\sqrt n)\) 修改，\(O(1)\) 查询。
• 平衡预处理和[操作]（？）的[时间]（？）复杂度。（在线莫队）
• 平衡两种情况的[时间]（？）复杂度。（根号分治）

目前想到了这些。

分块的基本思想是，通过对原数据的适当划分，并在划分后的每一个块上预处理部分信息，从而较一般的暴力算法取得更优的时间复杂度。分块的时间复杂度主要取决于分块的块长，一般可以通过均值不等式求出某个问题下的最优块长，以及相应的时间复杂度。—— August 22, 2024 cyf 老师的 ppt

分块的种类

• 序列分块：本质是在下标轴（\(i\)）上分块。
• 值域分块：本质是在值的轴（\(a_i\)）上分块。
• 操作分块：本质是在时间轴（一般是输入顺序）上分块。

上面这三种分块应该是可以套的。

• 块状数组。
• 块状链表。

分块和 log 数据结构的比较

此处“log 数据结构”指的是线段树、Splay 或 FHQ-Treap。块状数组对应线段树、块状链表对应 Splay 或 FHQ-Treap。

块状数组和块状链表的理论时间复杂度是高于线段树和平衡树的。但是块状数组常数应该较小，甚至可能有时跑得比线段树快，而且块状数组比较好写。块状链表常数大不大、好不好写我不知道。

块状数组也可以像线段树一样打 tag。

更重要的是，块状数组比线段树更暴力，因为它不一定需要下传标记（实现标记永久化较方便），也不一定需要合并结点来得到块的信息（即使需要合并块来得到答案）（因此可以暴力重构每一块）（因此可以对每一块处理出线段树没法维护的信息，如：LOJ 6278、LOJ 6279）。块状数组还可以预处理出每两块间的区间的信息，从而实现在线莫队（可以一步步移动区间端点）。

小结：块状链表包含了[一般]（？）线段树的功能，还能实现更多的东西，因为它更暴力。

块状数组和块状链表的比较

块状数组较固定，[不支持插入]（？）。块状链表较动态，支持插入[等]（？）操作（如：LOJ 6282）。

为什么要给链表分块？我觉得是为了快速地跳。

块状链表的实现：

块状链表，若一个块长度大于阈值2倍，分成2个块，若一个块长度小于阈值1/2，与旁边块合并。—— 同一个 ppt

一些分块相关的技巧

这一部分是照着 August 22, 2024 cyf 老师的 ppt 里面的题和题解写的。

• 观察到一个数经过很少的操作就变成一个不变的值，而且没有其他修改操作或者其他修改操作不会反向影响这个过程，所以维护块内是不是全都是不变的值。散块暴力做，整块判断一下还能再变再暴力做。每个块经过很少的操作就会变成不变的，所以复杂度是对的。线段树也可做。如：LOJ 6281、[花神游历各国]（？？？（是不是这个名字我搞忘了））。
• 珂朵莉树。其实是用了珂朵莉树的思想，如果修改有区间推平操作，可以考虑对每个块记它是否纯色。每次区间推平会把一些（可能没有）中间的杂色块变成纯色，可能把两边的纯色快变成杂色。那么每次区间推平最多增加两个杂色块。所以如果其他修改操作没什么对杂色块个数的大的影响的话，杂色块的总个数是线性的。又有每个块的大小是根号，所以可以对每个杂色快暴力处理答案。如：LOJ 6284。
• 对于不好直接合并块来得到答案的，考虑可能的答案有多少个，如果只有根号个，可以弄出可能的答案，再一一判断。如：LOJ 6285（区间最小众数）。
• （与分块本身无关）对每个数值维护它出现的位置，可以方便地判断它在给定区间里出现了多少次。[如：LOJ 6285（区间最小众数）。]（？）
• （在线莫队）处理出块块之间的区间的信息，查询时直接跳左右端点。[如：LOJ 6285。]（？？？？）
• （在线莫队）如果信息有可减性（或者类似的，总之就是可以运算上一个逆），就可以算块间的前缀和（或者类似的前缀什么），而不需要处理出每两个块之间的信息。如：P4119。
• （与分块本身无关）某一固定范围内数值为 \(x\) 的全部变成数值 \(y\)，可以用并查集维护。注意此处并查集的复杂度，P4117 中并查集的复杂度是 \(O(1)\) 合并，[均摊 \(O(1)\)]（？？） Find 的，因为一个数值变成另一个之后它就没有了，所以合并的时候不用 Find。好像也可以用链表或？。见 lxl 第二分块的题解。如：P4119、P4117。
• 对于第 k 小值的询问用值域分块处理。如：P4119。
• （分块、线段树、平衡树都可用）为了合并两块的答案记录块左（前缀或者第一次出现）信息、块右（后缀或者最后一次出现）信息、[块的信息 或/和 块的答案]。如：P5397、区间最大子段和。
• 块内数值种类数不超过大概根号个。离散化。可以处理它们两两之间的东西。如：P5397。
• P4117 的奇妙转化，使得枚举到多少范围就减多少。减很多的可以变成加余下的，再全局减。P4117。

整理到 ppt 第 28 页（第 28 页还没整理）了。

写题去了，咕咕咕。

2024.8.24