树上合并 目前的总结

启发式合并（set）

元素少的 set 中的元素一一插入元素多的 set 中。

时间两只 \(\log\)。空间最坏为 \(n\) 这个级别（结点数）（这是在默认一个结点最多增加一个元素的情况下）。

log 数据结构时间也是两只 \(\log\)。

dsu on tree

好像[也叫“树上启发式合并”]（？？）。

[一般]（？）是重链剖分一样划分轻重儿子。（好像也有与长链剖分类似的写法。但我不会也不懂这有什么优势。下面今天写的内容都是指重链剖分。）

实际上是靠保留重儿子子树的影响，轻儿子的子树只是临时用（当然如果上面有重儿子也会被保留）。

这样保证了时间和空间，时间复杂度的分析类似于重链剖分。而且 可以用桶这种占用空间较多的东西来维护，虽然不用桶用 set 应该也可以。用桶时间是一只 log 的，用 set 时间是两只 log。基本的空间是 \(n\) 这个级别的，如果用桶则空间还要加上桶的。

下面是一些实现细节：

• 先走轻儿子可以保证重儿子的子树不会影响到轻儿子的子树。

• dsu on tree 主要是添加，删除本质上是“追溯”。于是遇到不能快速回退（没法快速整上一个逆）的情况，可以记一下之前的某个变量，之后还原回去（如：[CF600E]（？）），而不用真正一步步还原。如果一步步还原应该可以用栈来实现（如果要还原桶空间可能很大），虽然我应该还没有遇到这种题。一步步还原本质上应该是用[“可追溯化”]（？？？）数据结构来维护。如果直接跳回之前的状态（不是一步步回去）可以用主席树这种可持久化数据结构来维护。

线段树合并

Trie 合并、[李超线段树合并]（我还不会，不确定属不属于）大概也属于线段树合并。

线段树相比平衡树的优势在于它结构固定。这使得它可以快速地合并（指的是可以有交集的合并），而平衡树没法快速地合并（指的是有交集的）。

树状数组好像正常来看不太好合并，因为它一般不是一个[“纯函数式”]（？）的结构。但是好像它本来就是一棵树（还是森林？？？？），所以应该也可以做（？？？？）。

线段树合并用的是动态开点线段树。

线段树合并时间是单 log 的。时间复杂度分析 好像 是每次合并删掉多少点什么的，忘了。合并不会新建点，所以合并不会增大空间，空间是一开始的 log * n 级别的（在每个结点只有一个元素的情况下）。

线段树合并相当于把两棵线段树的信息相加。这可以用来优化那种形如 \(f_{u,i} = (v \in ch_u) f_{v,i} \cdots\) 的 DP，（我好像现在只会二叉树（最多只有两个儿子）的，但应该儿子更多也是一样的吧（如果 DP 没有什么其他的限制，其他限制比如 DP 方程里要求乘上另一个儿子的什么东西）？）即直接把信息拿上来（位置是不变的）再做修改。同时线段树支持[区间乘]（？）[这种]（？）操作，可以快速地修改。还可以也利用线段树的其他东西来优化这种 DP。例题是 [PKUWC Minimax]（？）。

李超线段树可以优化把李超线段树优化 DP 或者斜率优化 DP 搬到树上的 DP。例题好像是 CF 上一题，可以去今天的 PPT 里或者题单里找。

2024.8.19