2024.8.11 总结（集训 考试）

之前听说今天的考试难度是 NOIP - 。

T1

赛时只会暴力。甚至还想出了比时间复杂度 \(O(n^2)\) 的暴力更慢的时间 \(O(n^3)\)（可能不是，可能要 \(/ \omega\)）的 bitset 做法。

正解之一是 xor hashing。前年（T3）、去年（T2 ?）的 CSP-S 我都没想出 hash 做法。感觉自己缺乏想 hash 的意识。

这个题：由出现次数的奇偶性想到异或，但直接异或可能会出现问题（\(1 \operatorname { xor } 3 = 2\)；\(1 \operatorname { xor } 2 \operatorname { xor } 3 = 0\)，但我们预期的是 \(2 \operatorname { xor } 2 = 0\)）。于是考虑让本身紧凑的值分散开，用随机数实现，把同样的数变成同一个数。这样就可以直接用异或来做了。

另，[树链的 xor 和] 可以转化成 [两个端点到根的路径的 xor 和] xor 起来。

另外好像还有点分治做法。

T2

显然有（时间）\(O(n^2k)\) DP。用前缀和，在 DP 转移方程里拆前缀和（\(sum_r - sum_{l-1}\)）。发现转移的时候是从一段 前缀/后缀 里求 max/min，于是可以直接优化成（时间）\(O(nk)\)。（注意前缀和要处理原 [序列]（？） 上第一个位置 \(- 1\) 的位置（原 [序列]（？） 上第一个位置的前一个位置），虽然在这题中初始化为 \(0\)（全局数组）即可，但还是要注意，有时要特殊考虑，不要数组越界了（原来就是从 \(0\) 开始的情况））

\(O(nk)\) DP 预计有 \(50\) 分。

然后赛时我整了个贪心乱搞。发现最后可能是在某个区间上反复横跳。于是在 DP 后枚举跳了多少次后在哪个位置，剩下的次数都拿来在 这个位置作为端点且方向正确的 和最大的 区间上反复横跳。

然后没想到这样就有 \(90\) 分了。

正解是找贪心结论 + DP。详见题解。我还没完全搞懂。

T3

应该算是构造题。

感觉我现在做构造题没什么章法。可能是做少了也总结少了。

赛时只有大概的想法。和正解有相似之处，但是想法不清晰，应该也不对。就是说自己有一点感觉，但不多。

正解有 递归，划分成子问题，再合并 的思想（算不算分治？）（有点像树形 DP）。感觉树上的东西就 [很]（？） 可能是这类做法。

听说这个题是树分块的基础。（？）但是一位 [新高二]（？） 的学长认为我们现在不用学树分块。

双倍经验：P2325 [SCOI2005] 王室联邦。（数据范围不一样，其他东西不确定一不一样，还没仔细看）

T4

赛时想偏了。

正解：FHQ-Treap，结点维护复杂的东西 + 复杂的 PushUp（找了奇妙的性质）。

正解用了从弱化的问题着手的思想。在此题中即先考虑二元的情况，再由二元推至题目中三元的情况。

总体的总结

赛时一个题都没有想出正解。该打的暴力都打了，应该没有挂分。个人认为暴力写对写稳是重要的。贪心乱搞 骗分 运气好骗到了 \(40\) 分。听说相比 NOIP，这次暴力分给得很多。

自己实力不足。思维上很弱，有的技巧套路（T1）不熟悉；有的题（T3）只有感觉，没有想出正确清晰的做法。而且思考的时间太长了——从 8:00 考到 12:00，我大概 [9:30]（？？） 左右才开始写代码。

还是尽量把题都改了，多写博客总结吧。而且我应该有意识地去总结本质的东西。

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另，不知道为什么，我把文件夹名字里的日期写成了 9.20，刚刚才发现并改正。或许是因为学校那台电脑的某文件夹里还有文件夹的名字不是今天的日期？

2024.8.11