数论基础 总结

一

\(a \bmod b = a - \lfloor \frac { a } { b } \rfloor \cdot b\)，其中 \(b\) 为 \(> 0\) 的整数，[\(a\) 为整数]（？）。

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自反

\[a \equiv b \pmod p \Rightarrow b \equiv a \]

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\[a \equiv b \ b \equiv c \Rightarrow a \equiv c \]

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\[a \equiv b \Rightarrow a + c \equiv b + c \]

证明：令 \(a = k_1 p + r_1, b = k_2 p + r_1, c = k_3 p + r_2\)，把它们带入 \((a + c)\) 和 \((b + c)\) 即可。

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\[a \equiv b \ c \equiv d \Rightarrow a + c \equiv b + d \]

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\[a \equiv b \Rightarrow ac \equiv bc \]

证明：令 \(a = k_1 p + r_1, b = k_2 p + r_1, c = k_3 p + r_2\)，把它们带入 \(ac\) 和 \(bc\)。

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同余式的基本证明思路：令 \(a = k p + r\)。

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二、费马小定理

对于 \(p \in Prime\)，对于 \(a\)，\(\gcd (a, p) = 1\)，那么 \(a ^ { p - 1 } \equiv 1 \pmod p\)。（这个式子成立的条件是这样的吗？还不清楚）

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证明：

（由 \(a ^ { p - 1 } \equiv 1 \pmod p\) 想到 \(a ^ p \equiv a \pmod p\)）

\[a ^ p \equiv a \Rightarrow a ^ { p - 1 } \equiv 1 \]

（上面这个 \(\Rightarrow\) 成立吗？）

考虑用数学归纳法证明 \(a ^ p \equiv a\)。

\[1 ^ p \equiv 1 \]

\[x ^ p \equiv x \]

现在要证 \((x + 1) ^ p \equiv x + 1\)。

\((x + 1) ^ p \equiv x ^ p + 1 \equiv x + 1\)。

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证明 \((x + 1) ^ p \equiv x ^ p + 1 \pmod p\)：

\[(x + 1) ^ p = \sum _ { i = 0 } ^ p { p \choose i } x ^ i \cdot 1 ^ { p - i } \]

因为 \(p\) 是质数，所以 \(p \choose i\) 不是 \(p\) 的倍数当且仅当 \(i = 0\) 或 \(i = p\)。（？？？）（把 \(p \choose i\) 写成 一堆数相乘 除以 一堆数相乘 的形式来证明）

所以 \(( x + 1 ) ^ p \equiv { p \choose 0 } x ^ 0 \cdot 1 ^ { p - 0 } + { p \choose p } x ^ p \cdot 1 ^ { p - p } \equiv 1 + x ^ p \equiv x ^ p + 1\)。

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用费马小定理求乘法逆元（注意使用的条件）：由 \(a ^ { p - 1 } \equiv 1\) 可得 \(a ^ { p - 2 } \cdot a \equiv 1\)，由 \(a ^ { p - 2 } \cdot a \equiv 1\) 可得 \(a ^ { p - 2 } \equiv a ^ { - 1 }\)。

三、[欧拉定理]（？）

应该可以认为是费马小定理的升级版。（费马小定理应该是它的特殊情况）

如果 \(a \perp p\)，那么 \(a ^ { \varphi ( p ) } \equiv 1 \pmod p\)。

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证明：

当 \(p = 1\) 时结论显然成立。现在考虑 \(p > 1\) 的情况。

[令]（？）集合 \(\{ x_1, x_2, \ldots, x_{\varphi(p)} \}\) 表示 \(1\) 到 \(p\) 中（要考虑 \(1\) 和 \(p\)）所有与 \(p\) 互质的数（一共 \(\varphi (p)\) 个）（但是显然当 \(p > 1\) 时都不用考虑 \(p\)）。

再来一个集合 \(\{ a x_1 \bmod p, a x_2 \bmod p, \ldots, a x _ {\varphi(p)} \bmod p \}\)。（这个集合中也有 \(varphi(p)\) 个元素，它里面的 \(x _ i\) 就是第一个集合的 \(x ^ i\)）

现在要证这两个集合相同，然后得它们中的元素乘起来相等，再推式子即可。

首先证第二个集合中元素互不相同。用反证法，假设 \(a x_1 \bmod p = a x_2 \bmod p\)。……（还没想好具体怎么证）

接着证第二个集合中的每个元素都和 \(p\) 互质。\(a\) 和 \(p\) 互质，相当于 \(\gcd ( a, p ) = 1\)，这相当于 \(a\) 和 \(p\) 的公因数只有 \(1\)。\(x _ i\) 和 \(p\) 互质同理。因为 \(a\) 和 \(x _ i\) 都和 \(p\) 互质，所以 \(a, p\) 的公因数 和 \(x _ i, p\) 的公因数 都只有 \(1\)。那么 \(a x _ i\) 和 \(p\) 的公因数也只有 \(1\)，也就是说 \(\gcd ( a x _ i, p ) = 1\)。……（还没想好具体怎么证）

[而且因为 \(\bmod p\)，所以第二个集合中的每个元素都是 \([0, p - 1]\) 中的整数。]（？）

于是我们现在知道了第二个集合中的元素共有 \(\varphi (p)\) 个互不相同的元素，每个元素都和 \(p\) 互质，[并且它们都在 \([0, p - 1]\) 中]（？）。那么就得到了第二个集合和第一个集合是相同的。

四

2024.8.10

2024.8.17 (update)