数论基础 总结
一
\(a \bmod b = a - \lfloor \frac { a } { b } \rfloor \cdot b\),其中 \(b\) 为 \(> 0\) 的整数,[\(a\) 为整数](?)。
自反
证明:令 \(a = k_1 p + r_1, b = k_2 p + r_1, c = k_3 p + r_2\),把它们带入 \((a + c)\) 和 \((b + c)\) 即可。
证明:令 \(a = k_1 p + r_1, b = k_2 p + r_1, c = k_3 p + r_2\),把它们带入 \(ac\) 和 \(bc\)。
同余式的基本证明思路:令 \(a = k p + r\)。
二、费马小定理
对于 \(p \in Prime\),对于 \(a\),\(\gcd (a, p) = 1\),那么 \(a ^ { p - 1 } \equiv 1 \pmod p\)。(这个式子成立的条件是这样的吗?还不清楚)
证明:
(由 \(a ^ { p - 1 } \equiv 1 \pmod p\) 想到 \(a ^ p \equiv a \pmod p\))
(上面这个 \(\Rightarrow\) 成立吗?)
考虑用数学归纳法证明 \(a ^ p \equiv a\)。
现在要证 \((x + 1) ^ p \equiv x + 1\)。
\((x + 1) ^ p \equiv x ^ p + 1 \equiv x + 1\)。
证明 \((x + 1) ^ p \equiv x ^ p + 1 \pmod p\):
因为 \(p\) 是质数,所以 \(p \choose i\) 不是 \(p\) 的倍数当且仅当 \(i = 0\) 或 \(i = p\)。(???)(把 \(p \choose i\) 写成 一堆数相乘 除以 一堆数相乘 的形式来证明)
所以 \(( x + 1 ) ^ p \equiv { p \choose 0 } x ^ 0 \cdot 1 ^ { p - 0 } + { p \choose p } x ^ p \cdot 1 ^ { p - p } \equiv 1 + x ^ p \equiv x ^ p + 1\)。
用费马小定理求乘法逆元(注意使用的条件):由 \(a ^ { p - 1 } \equiv 1\) 可得 \(a ^ { p - 2 } \cdot a \equiv 1\),由 \(a ^ { p - 2 } \cdot a \equiv 1\) 可得 \(a ^ { p - 2 } \equiv a ^ { - 1 }\)。
三、[欧拉定理](?)
应该可以认为是费马小定理的升级版。(费马小定理应该是它的特殊情况)
如果 \(a \perp p\),那么 \(a ^ { \varphi ( p ) } \equiv 1 \pmod p\)。
证明:
当 \(p = 1\) 时结论显然成立。现在考虑 \(p > 1\) 的情况。
[令](?)集合 \(\{ x_1, x_2, \ldots, x_{\varphi(p)} \}\) 表示 \(1\) 到 \(p\) 中(要考虑 \(1\) 和 \(p\))所有与 \(p\) 互质的数(一共 \(\varphi (p)\) 个)(但是显然当 \(p > 1\) 时都不用考虑 \(p\))。
再来一个集合 \(\{ a x_1 \bmod p, a x_2 \bmod p, \ldots, a x _ {\varphi(p)} \bmod p \}\)。(这个集合中也有 \(varphi(p)\) 个元素,它里面的 \(x _ i\) 就是第一个集合的 \(x ^ i\))
现在要证这两个集合相同,然后得它们中的元素乘起来相等,再推式子即可。
首先证第二个集合中元素互不相同。用反证法,假设 \(a x_1 \bmod p = a x_2 \bmod p\)。……(还没想好具体怎么证)
接着证第二个集合中的每个元素都和 \(p\) 互质。\(a\) 和 \(p\) 互质,相当于 \(\gcd ( a, p ) = 1\),这相当于 \(a\) 和 \(p\) 的公因数只有 \(1\)。\(x _ i\) 和 \(p\) 互质同理。因为 \(a\) 和 \(x _ i\) 都和 \(p\) 互质,所以 \(a, p\) 的公因数 和 \(x _ i, p\) 的公因数 都只有 \(1\)。那么 \(a x _ i\) 和 \(p\) 的公因数也只有 \(1\),也就是说 \(\gcd ( a x _ i, p ) = 1\)。……(还没想好具体怎么证)
[而且因为 \(\bmod p\),所以第二个集合中的每个元素都是 \([0, p - 1]\) 中的整数。](?)
于是我们现在知道了第二个集合中的元素共有 \(\varphi (p)\) 个互不相同的元素,每个元素都和 \(p\) 互质,[并且它们都在 \([0, p - 1]\) 中](?)。那么就得到了第二个集合和第一个集合是相同的。
四
2024.8.10
2024.8.17 (update)