图论基础 总结

零、图论杂项

有时为了方便把点的编号变成从 0 开始，或者添加一个 0 号点。（涉及二进制的、涉及 mod 的）如：万花筒（没找到 wwlw 的博客，wwlw 的博客里应该有，去博客园搜能找到其他博客（这篇、这篇））、P4366 [Code+#4] 最短路。

图论题里可能有些边虽然意义不符合我们想要的，但是连了也没有影响，为了方便不妨连上。如：简单数学题（wwlw 2024.7.31 的 图论 Day 1 PPT 里的一道题）。

注意重边、自环。

要求边被经过 $2$ 次 -> 建 $2$ 遍（同一条）边。如：CF788B。

一、最小生成树

• 稠密图——Prim
• 稀疏图——Kruskal

最小生成树不能合并 -> 没有结合律 -> 不能分治。（分治需要结合律（？））

合适的数据范围 -> 合适的算法。根号分治。

外向树。外向生成树。如：P2573 [SCOI2012] 滑雪：（Prim 做法）拓扑序小的对拓扑序大的有影响。先走拓扑序小的 更优（不劣？）（在这个题中是先走高度更高的，这样可以看到更多的（有向）边，使以后选的边可能更优，而且能走到的高度更高的迟早会用这条边走到，所以先走这条边是不劣的）。（这个题的 Kruskal 做法和 Prim 做法差不多）

最小生成树处理连通性问题。

区间相关的东西可以考虑通过 前缀和 或 前缀 xor 和 建立图论模型（转换成连通性问题）（也可以考虑转成左开右闭区间来转换（欲知 $(i-1,i]$—— 要使 $i-1$ 和 $i$ 连通（？）），用两种方法转换之后的题应该是一样的）。注意此时要考虑 0 号点。如：P5994 [PA2014] Kuglarz。

Kruskal 重构树

似乎可以理解成树上的笛卡尔树。（？？？）

分两种：点和边。

边：LCA 的点权 = 最小生成树上（？） 两点间路径上的最大边权。注意空间要开够（？）。

点：类似边的。

Kruskal 重构树可以处理树的链上的最值相关的问题。如：超级加倍（wwlw 2024.7.31 的 图论 Day 1 PPT 里的一道题）

二、最短路

把题抽象成最短路。

自己构的图（图不是数据给的，而是自己对某个题建立了图论模型后自己设计的图） 大概率（？） 不会卡自己（的 SPFA）。（？）

化边为点，新图里没有原来的点，原来的点描述原来的边之间连通的方式。代价与两条边都有关 -> 拆点（把一条边拆成两条边）。排序后前缀、后缀优化建图。如：P6822 [PA2012] Tax。

优化建图：考虑这条边被哪些边等效替代，使得那些边 尽量（？） 被 共用。

最优化 DP，但是有环，转换成最短路问题。

三、强连通分量

缩写：SCC。

缩点。注意自环、重边怎么处理。新图是 DAG（？） ，可以 拓扑（？）。

注意：有题要求从 $1$ 开始；但 $1$ 所在的 SCC 不一定在新图上入度为 $0$。

Tarjan 求 强连通分量、 点双（？） 、 边双（？） 一般（？） 可以当黑盒用。（？）

类比

• DFS 搜索树：返祖边 -> 环。（？）
• 拓扑序（DAG）：拓扑序上前面的点往后面的点连边不会形成环。

四、欧拉回路 & 欧拉路径

欧拉路径 大概就是 一笔画。 每条边只能经过 1 次，每个点可以经过多次 （？）。

考虑点的度。

存在 欧拉回路 的条件（且）：

• 无向图：连通图（？）。所有点的度都是偶数。
• 有向图：连通图（？？？）。所有点的入度都等于出度。

存在 欧拉路径 的条件（且）：

• 无向图：连通图（？）。只有两个点的入度是奇数（这两个点一个是起点，一个是终点）。其他点的入度都是偶数。
• 有向图：连通图（？？？）。一个点的出度比入度大 $1$（这个点是起点），另一个点的入度比出度大 $1$（这个点是终点）。其他点的入度都等于出度。

求 欧拉路径（？？？） ：直接 DFS。（？）技巧：邻接表 边从 $-1$ 开始 反向边：$\mathrm{xor}1$。（这个技巧我还没懂） 直接搜是对的的原因（？） ：入度 = 出度 -> 不会停留 -> 会把整个图搜完。

有个结论：无向图里加边。归纳得出（wwlw 的 PPT 里写的是归纳，我没证）无论怎么加边，图中都会有偶数个奇度数点。记奇度数点的个数为 $k$，那么若 $k>0$，则至少需要 $k/2$ 条不相交的路径使得边被完美覆盖；若 $k=0$，则至少需要 $1$ 条（欧拉路径，欧拉回路）。有个很巧妙的证明，见 wwlw 2024.8.1 的 图论 Day 2 PPT 中 Stroll 一题。似乎也可以用归纳法来证明。

五、2-SAT

六、优化建图

• 前缀、后缀优化建图。
• 线段树优化建图。
• 拆位，每一个二进制位分别处理。
• 为了方便连没有影响但意义不符要求的边。（这个算是优化建图吗？）

2024.8.2