寒假Day9：二分图的判断+匈牙利算法

二分图匹配相关概念

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

极大匹配是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。

最大匹配是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。

如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

求解算法：求二分图匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法。

注意：完全匹配一定是极大匹配，但是极大匹配不一定是完全匹配。

交替路：从一个未匹配的点出发，依次经过未匹配边、匹配边、未匹配边....这样的路叫做交替路。

增广路：从一个未匹配的点出发，走交替路，到达了一个未匹配过的点，这条路叫做增广路。

看下图，其中1、4、5、7是已经匹配的点，1->5,4->7是已经匹配的边，那么我们从8开始出发，8->4->7->1->5->2这条路就是一条增广路。

 

 

 

 

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二分图的判断

 对于二分图的问题我们首先要判断一个图它是不是二分图。

对于二分图的判断方法最常见的是染色法（对每一个点进行染色操作，我们只用黑白两种颜色，问能不能使所有的点都染上了色，而且相邻两个点的颜色不同，如果可以那么这个图就是一个二分图）。

对于判断是否是一个二分图的方法可以用dfs和bfs两种方式去实现。

bfs判断二分图：

bool bfs()//用bfs 判断一幅图是否是二分图
{
    memset(col,0,sizeof(col));
    //染色后的状态只有1和-1
    //所以染色的初始状态为全部清空为0
    queue<int> Q;
    Q.push(1);//先让第一个点入队
    col[1]=1;//给第一个点染色为1
    while(!Q.empty())
    {
        int p=Q.front();
        Q.pop();
        for(int i=0; i<v[p].size(); i++)
        {
            //找与第一个点相邻的点
            int x=v[p][i];
            if(col[x]==0)//如果未被染色
            {
                col[x]=-col[p];//就染成与当前点相反的颜色
                Q.push(x);
            }
            else//如果已经被染色了且和当前节点染色相同，则确定不是二分图
            {
                if(col[p]==col[x])
                    return 0;
            }
        }
    }
    return 1;
}

 

 

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匈牙利算法

 时间复杂度：O(n*m)

 匈牙利算法模板：

bool dfs(int x)
{
    for(int i=0; i<v[x].size(); i++)
    {
        int s=v[x][i];
        if(book[s]==0) // 判断是否标记过,没有被标记进行下一步
        {
            book[s]=1;
            if(f[s]==-1||dfs(f[s]))  // 如果没有被匹配过且能和其他的点进行匹配
            {
                f[s]=x;
                return 1;
            }
        }
    } 
    return 0;
}

 

补充：

• 匈牙利算法得到的最大匹配并不是唯一的，预设匹配边、或者匹配顺序不同等，都可能会导致有多种最大匹配情况，所以有一种替代KM算法的想法是，我们只需要用匈牙利算法找到所有的最大匹配，比较每个最大匹配的权重，再选出最大权重的最优匹配即可得到更贴近真实情况的匹配结果。但这种方法时间复杂度较高，会随着目标数越来越多，消耗的时间大大增加，实际使用中并不推荐。 
• 匈牙利算法是最简单最常见的求最大匹配数的算法，但是它的时间复杂度是O(n*m)，对于一般的题来说最多有500个点，所以匈牙利是最好的做法。
• 假如遇到点数更多的话，可以使用Hopcroft-Karp算法，它的时间复杂度是O(n^(1/2) * m)。
• 以后碰到更深的题目再去学习一下HK算法、KM算法（带权二分图的最优匹配问题）、匈牙利算法求二分图多重匹配。

 

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小知识点：

• Have all the workers punched in yet?
  所有工人上班都打卡了吗？   punch in 打卡 ~on time  
• abs是求一个整数的绝对值，fabs是求一个实数的绝对值
• 数组开小了不会显示RE，会提示超时

 

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可参考博客：

https://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547