考研数学

 

 

第一章、高数

 

内容（极限） 考点类型	(1)  (2) (3)  (4)
	极限	函数极限:(ε-σ)f(x)=A  判断极限存在条件:①极限存在②任意子极限都相等
		数列极限:(ε-σ)=A    极限性质:①唯一性②有限性③保号性 1.证明极限存在的方法:单调有界原则   2.含参数极限求解用0/0型,洛必达和泰勒公式
定义与性质	①极限过程性（极限存在→极限处处有定义）			②ε-σ，ε-N(ε可取无穷小)	③取ε的具体值			1.数列极限定义:=a<=>，N>0，当n>N时则|Xn-a|<ε
函数极限计算 极限定理:①最值定理②有界定理③零点定理④介值定理	①判断类型（7种）					②化简先行（①倒三角形替换②化为指数形式③等价替换（前提:乘积形式）				③使用工具（泰勒公式（(一切函数)和洛必达(0比0型和无穷大比无穷大型)	2.函数极限定义:f(x)=A<=>，σ>0，当0<|x-x0|<σ,则|f(x)-A|<ε
数列极限计算	①通项且连续用归结原则		②通项不连续用夹逼准则（注意会牵涉到中值定理作为提示再进行放大缩小）						③通项由迭推而得用单调有界原则（注意会牵涉到求导原则求得单调性以及最值，再令其此通项的极限为A结合题目便可解）
应用（无穷小比阶级）和（连续与间断）	①无穷小比阶求解2法:⑴使用泰勒公式和洛必达（适用非复合型函数题）⑵对于复合函数的题用等价法求解（，则）						②连续与间断点:取无定义点，端点和分段点（特别注意0比0的点） 间断点种类:无穷/跳跃/可去间断点三类 3.无穷小性质:①有限个无穷小的和差积②有界与无穷小乘积③常数与无穷小乘积④limf(x)=A=>f(x)=A+a

等价替换的几个公式	sin(x)≈x	cos(x)≈x	tan(x)≈x	，
	arcsin(x)≈x	arccos(x)≈x	arctan(x)≈x
	≈	㏑(1+ax)≈ax					，
					， 连续的判断条件:①f(a-0)与f(a+0)存在且相等
三角函数的几个公式			，第二类间断点:左右极限至少一个不存在
			和，第一类间断点(左右极限都存在):可去(不相等)/跳跃间断点(相等)  左右就是左减右加
						及万能公式（正余弦用正切表示）

 

二.一元函数微积分学

内容（一元微分） 考点类型	概念		计算				应用		证明
	五种函数求导:复合函数(链式原则),反函数(倒数原则),隐函数(两边对x求导原则),分段函数(分段与求导定义原则),参数函数(逐层对参数成分式求导原则)
导数	①具体型：求导与导数定义	①一般题：导数定义和求导 ②隐函数求导			①极值点：一阶导极值（左增右减为极大值，左减右增为极小值）和二阶导极值（二阶导大于0为极小值，相反为极大值），以及高阶导极值（当n为偶数才存在，判断之法同二阶导） ②最值点：极值点和端点值比较 ③单调性：求导。 ④凹凸型：二阶导（大于零凹型，小于零凸型） ⑤渐近线：垂直（无定义点:下标趋近于某具体值的f(x)极限为无穷大），水平（∞下标趋近于某无穷大的f(x)极限为具体值），斜（趋近于某个具体值：先求f(x)/x的极限,再求b=f(x)-kx的极限） ⑥拐点：前提（1.n为奇数，前n-1导数为0，n阶导不为0）就是 导数存在判定条件:①左右导数存在且相等②f_’(x)=f’+(x) 连续必可导
	②半具体半抽象型：泰勒公式
		③高阶题：(1)抽象(泰勒公式的通项式）(2)具体（泰勒和通项（等比数列前n项和) ③展开式唯一性（令其相等）
	③抽象型：f(x)=A+(α)
微积分	计算：①:∆y=f’(x)∆x            ②dy=A∆x=f’(x)∆x
不定积分	①只要一点不存在，则原函数不存在 ②原函数存在原理（连续函数必须存在原函数） 原函数存在性条件:连续函数必有原函数,第一类间断点必不存在原函数,第二类间断点难判定					①凑微分法                    ②换元法（倒三角形替换原则） ③利用三角函数换元            ④分部积分法 ⑤有理函数积分法
定积分	①奇偶性   ②周期性为其充要条件 ③有界性：导数有界=>原函数有界			定积分精确定义		面积(线线乘):原式法,极坐标法和方形面积法  体积(线面乘):原式法和圆柱体法           ①划分每一段为，起点为a，则
						步骤 三部曲		1.提出1/n, 2.添出i/n 3.读1/n为dx,i/n为x，x∈（0,1）
反常积分	判敛法:半区间K>1收敛而全区间K<1收敛									换元法求解
中值定理证明型的题	①研究对象复杂化（有界定理，最值定理，介值定理和零点定理）   ②区间复杂化
不等式证明	①导数的单调性②中值定理③放大与缩小④最值证明⑤凹凸性证明
方程的根	f(x)的n-1阶导数有k-1个根，则f(x)f(x)的n阶导数有k个根,直到原函数
导数四大定理：	①罗尔定理(开可导闭连续f(a)=f(b)则f’(c)=0②拉格朗日定理(开可导闭连续,则f’(c)(b-a)=f(b)-f(a)③柯西定理(开可导闭连续④泰勒定理

 

 

 

三.多元函数微积分学

内容（多元微分） 考点类型	多元微分三定理:最值定理,有界定理和介值定理
概念	①二重极限lim(x,y)->(x0,y0)f(x,y)：除了洛必达和单调有界原则，求极限的性质都可以在此用
	②累次极限lim(x->x0)lim(y->y0)f(x,y)：按就近原则顺序求解
计算	①偏导数求解	①	②多元微分求解	①链式求导法则 ②对于高阶，求多少阶的导的新函数的结构仍然与原函数的结构相同 ③最后注意书写规范且谨慎思考
		②f”xy看做是(f’x)’y和f”yx看作是(f’y)’x
应用	①多元函数求极值条件：	1.进行（一次导令其为0求得x0和y0）代入到二次求导式子中求得A,B,C.			②条件约束极值求解之法	1.写出约束方程（如F(x,y,z,μ)=f(x,y,z)+μ∂(x,y,z))
						2.分别对每个未知数求一阶偏导令其为0
		2.△=B²-AC（△<0有极值（A<0极大值，A>0极小值），△>0无极值，△=0不确定）
						3.运用代数多元方程求解行列式之法求得每个未知数的值代入到原式再分别比较大小

 

 

四．二重积分

内容（二重积分） 考点类型
概念性质	① 对 称 性	1.关于x，y或原点对称）	② 轮 换 性	1.前提：积分值用何字母表示无关
				2.若区域D用x和y位置性对调后D区域不变可轮换
		2.作辅助线使其对称		3.令其2I=I1+I2=>I1=I2=I/2即可更快速求解其二重积分的值
计算	① 基 础 题	1.直角坐标系(dxdy)	② 技 术 题	1.轮换原则	③ 综合题	结合好基础题和技术题的综合性原则进行求解
		2.极坐标系（dθrdr)		2.形心公式（求解时积分中未知数为其圆心，再求其区域D（一般是圆）的面积，最后对应圆心乘以面积
		3.规则：后积先定限，线内画条线，先交下曲线，后交上曲线

 

 

 

 

 

五.微分方程学

内容（微分方程） 考点类型	高阶导二公式：（1）  （2）
概念及其应用	方程中y的最高阶导数的阶数为其几阶方程=独立常数的个数
一阶方程的求解	①可分离变量	形式如y’=f(x,y)分别拆成(左dy=右dx)的形式  分离变量再两边积分
	②齐次方程dy/dx+p(x)y=0	dy/dx=∂(y/x)步骤⑴左dy=右d，x⑵令u=y/x   公式:
	③一阶线性（非其次方程）dy/dx+p(x)y=q(x)	形式如dy/dx+P(x)y=Q(x)步骤⑴写成齐次方程求得y且把y1中的c1换为u⑵齐次方程求解得到的y再进行对x求导得dy/dx=??再与原方程综合起来求得(u’—>u)⑶求得的u代入到齐次方程求得y中即可 公式:
高阶方程的求解	④可降价高阶微分方程(2阶)乘积式且无单独x或y	y”=f(x,y’)型令其y’=p，y”=dp/dx=p’,再对p进行不定积分求解 有x式
		y”=f(y,y’)型令其y’=p，y”=dp/dy*dy/dx(p)，再对p进行不定积分求解  有y式
	常系数齐次方程	y”+P(x)y’+Q(x)y=0型，步骤:⑴令其r²+P(x)r+Q(x)=0求得r, (2)∆>0(),∆=0(),∆<0()
	常系数非齐次方程	f(x)=型，步骤(1)先令为齐次方程求得通解，特解通过((1)令其y*=Q(x)（其中k为重根数,λ为重根的那个r值)(2)再通过多次求导代入原方程中求得y*)(3)全解=通解+特解

 

求导的几个公式
	1.        2.
泰勒的几个公式	特别记住当为0时，，cos(x)，sin(x) (1) (2) (3)    (4) 注意(3)(4)表示定积分的公式

 

六.无穷级数学

内容（无穷级数） 考点类型

无穷级数定义：研究的是趋近于0的速度且要的是它的速度足够快也就是必要条件

无穷级数判其敛型

正项级数 1.p级数P>1收敛 2.几何级数(等比数列通式)|q|<1收敛

①收敛原则：若

②比较判别法1：通过两个无穷级数(Vn≦Un)来判别，原则是：（小的发散大就发散，大的收敛小的就收敛）

③比较判别法2：

通过两个无穷级数=?

0

小的发散大就发散，大的收敛小的就收敛

∞

A=>同收敛同发散

④比值判别法(自身）：

通过前后两项比较

①=1=>该法失效 ②<1=>收敛 ③>1=>发散

⑤根值判别法（自身）：

通过自身开n次方根自身比较=？

①=1=>该法失效②<1=>收敛 ③>1=>发散

交错级数

步骤①②则收敛 也就是单调递减且极限为0就收敛

幂函数的收敛域

步骤三部曲

②用前面的比值判别法和根值判别法令其小于求得开区间的区域R=1/ρ

③通过对两个端点结合步骤②进行求解

展开与求和

①展开

②

③  且(|x|<1) 求解原则是：n在分子上先微分再求导=>逐项可积性 对于 求解原则是：n在分母上先求导再微分=>逐项可导性

经济学

五大函数

成本:C(Q)=C0+C1(Q)

收入:R(Q)=P.Q      (p价格,Q为产量)

需求:Q=Q(p) 递减

供给:Q=f(P)  递增

利润:L(Q)=R(Q)-C(Q)

边际函数就是求一阶导数

弹性函数:

 

 

 

 

 

第二章、代数

一．行列式（本质是数）整体思想:仔细观察对应相应类型再做

内容（行矩 考点类型

逆序数：依次比较后面比自身小的个数之和 三角化行列式（分正对角线和副对角线）和拉普拉斯，范德蒙行列式，特征多项式

行列式

定义

①抽象概念

不同行不同列元素乘积的代数和共n!项

②几何概念

二阶行列式为其平行四边形的面积，三阶以上行列式为其对于阶的体积

性质

1.转置后行列式的值不变

2.倍乘性质

3.倍加性质

4.互换性质加负号

5.某行为0行列式为0

6.某两行成比例或相等行列式为0

展开式

1.按行展开

2.按列展开

计算:

1.低阶行列式：

1.对角线法

2.上下三角法

3.降阶法(0多且用相应的性质)

目的是行列式为主对角线元素乘积

2.抽象行列式：

①行列式性质

②用矩阵性质

③用特征值

3.高阶行列式：

1.数学归纳法

2.升降阶法

3.递推归纳法

证明:

①Ax=0有非0解

②反证法

③r(A)<n

0是A的特征值

④|A|=-|A|

应用:

1.相关性:线性无关=>|A|≠0

2.可逆和满秩=>|A|≠0

3.克拉默法则 (逐列为0法)

4.特征值计算|A|=特征值乘积

5.Ax=0有0解=>|A|≠0   AX=b唯一解=>|A|≠0

代数余子式:

1.本质是为了降阶方便行列式运算

2.方法:进行划掉行与列

4.技巧:化成整行或整列,，此行或此列补系数,其他行/列不变

注意技巧:

1.

2.范德蒙(第一行全为1)适用0较少情况

3.两行/列互换目的是统一为特殊行列式

二．矩阵(本质是数表)

矩阵

定义

①矩阵形式的

②方阵形式的

性质

1.加法交换律（4条）

2.乘法结合律（4条）

重要结论

3.矩阵乘法

1.条件:左行右列相等

2.原则:内标同可乘,外标定矩阵型

矩阵秩性质

1.

4.

5.

计算

1.方阵计算

(A+B，kA，AB，)------------>方阵的幂

2.初等变换

1.互换性，倍乘型，倍加型

2.任何可逆矩阵都可以通过若干次初等行变化成最简初等行变化

3.逆矩阵

条件： 1.行列式不为零即|A|≠0 2.一定是方阵

方法

1.化解

3.A|E通过初等行变换为E|A 可知可逆矩阵行列式不为0 注意是上下两个方向变换

2.求解

4.秩

1.初等行变换(单方向变换)

2.若A可逆，则r(AB)<r(B),r(BA)<r(B)

5.应用

1.方阵求行列式

2.矩阵方程

3.线性方程组的解

4.矩阵的对角化

5.二次型标准化

行列式和矩阵之联系与区别

区别

①行列式是数，矩阵是表 ②行列式是方阵，矩阵任意阵

联系

1.对称矩阵    2.反对称矩阵 3.正交矩阵:

 

 

三．向量组

内容 考点类型

n维向量

①加法

2.数乘

3.内积

2.线性表出

1.概念

非齐次方程型

2.判定

r(A|B)=r(A)<n(多解) r(A|B)=r(A)=n(一解)

r(A|B)r(A)(无解)

3.线性相关

1.概念

齐次方程型

判断:

r(某)<s=>非0解=>不满秩=>线性相关=>不独立

推论:

1.部分相关=>整体相关 2.原来相关=>缩短无关  3.注意:以少表多,多的相关

4.线性无关

1.概念

齐次方程型      注意:整体无关=>部分无关或原来无关=>延长无关

2.判定

r(某)=s=>0解=>满秩=>线性无关=>独立

5.线性相关条件:

1.该向量为0向量一定相关

2.两个向量成比例一定相关

3.含有0向量组一定线性相关

四．方程组

1.克拉默法则

条件:

1.方程组个数等于未知数个数

2.系数矩阵满秩

2.齐次方程

条件:

1.AX=0只有零解=>|A|≠0

2.AX=0有非零解=>|A|=0

方法:

1.r(A)=n=>AX=0只有零解

2.r(A)<n=>AX=0有多解

基础解系:

步骤:

1.初等行阶梯化

2.基础解系数为n-r=自由变量数,r为约束变量数

3.定约束变量(整列只有一个1其他为0)

4.自由变量一般设为0和1

5.用自由变量表示约束变量

6.自由变量0与1反复取逐个代入写基础解系

通解

原理:不同k倍单个基础解系之和=》k1*x1+k2*x2+...+kn*xn

3.非齐次方程

条件:

1.AX=b有唯一解=>r(A)=r(A|B)且|A|≠0

2.AX=b有多解=>r(A)=r(A|B)且|A|=-0

3.AX=b无解=>r(A)≠r(A|B)

非齐次有解可线性表示

方法:

1.r(A)=r(A|B)=>.AX=b有唯一解

2.r(A)=r(A|B)=>.AX=b有多解

3.r(A)≠r(A|B)=>.AX=b无解

非齐次无解不可线性表示

通解:

原理:齐次方程通解+非齐次方程特解

注意:特解一般取增广的那列数

4.应用

1.齐次方程基础解系等于特征值

2.矩阵对角化

3.二次标准型

5.两类关联:

1.非齐次方程多解=>齐次方程有非零解

2.非齐次方程唯一解=>齐次方程只有零解

 

 

 

 

五．特征值,特征向量

特征值与特征向量

①定义

1.矩阵的迹tr(A)=主对角线元素之和  2.行列式=主对角线元素之积

②求法

1.特征值

1.定义法

2.特征多项式法|λE-A|=0(重根按重数计)

2.特征向量

1.定义法

2.基础解系法(λE-A)x=0

③性质

1.  2.  注意:转换矩阵一定可以相似对角化,且存在正交矩阵

④相似对角化

1.性质

1.C可逆,且 2.A～B=>r(A)=r(B),|A|=|B|,tr(A)=tr(B),

2.步骤

1.|λE-A|=0求特征值

2.(λiE-A)x=0求特征向量

3.可逆和正交(施密特)

3.可对角化的判定:

1.A有n个不同特征值=>A～

2.A是实对称矩阵=>A～

3.A有n个不同特征向量=>A～

⑤实对称矩阵隐含的信息

施密特正交化:

A

kA+E

A+kE

λ

α

α

α

α

α

α

α

二次型(应用)

二次型

①矩阵表示

1.按对称平分原则便可行   2.二次标准化过程实质是矩阵对角化过程

1.正定

1.惯性系数:标准形中系数不为0的个数,正系数为正惯性系数,负系数为负惯性系数

2.矩阵等价判定

1.A,B同型且r(A)=r(B)则等价

2.A,B同型且PAQ=B(P,Q可逆)则等价

3.矩阵相似判定

1.A,B特征值相同且P负1次方AP=B则相似

2.P负1次方AP=B则相似

2.二次标准化

4.矩阵合同判定

1.A,B实对称矩阵A,B正负零特征值个数个数相同则合同

2.A,B实对称矩阵，P转置AP=B则合同

1.配方法     2.正交变换法(施密特正交化)的过程:1.|λE-A|=0求特征值2.(λiE-A)x=0求特征向量3.施密特正交化 3.规范二次型实质是系数为-1和1的二次标准型

                     

第三章、概率

1.随机事件与概率  整体思想定义性质法

内容 考点类型

古典概型

1.四则运算:A+B,A-B,AB,,   2.对立  2.加法p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB) 3.对偶定理:

几何型

3.j减法p(A-B)=p(A)-p(B)  4.条件

重要公式(用集合法记忆)

5.乘法p(AB)=p(A)p(P(B|A) 6..全概率公式. 7.贝叶斯     8.

2.一维随机变量及其分布  整体思想逐步分析法和定义法

分布函数

注意:间断点概率等于左右极限之差 2.概率叠加性和概率密度分段性

离散随机变量

有限个步步高的阶梯型函数

思路:1.-∞到+∞全取2.定义法求3.注意分段函数不单调是按分段求

连续随机变量

单调不减，F(-∞)=0,F(+∞)=1,天生右连续

八个分布(离散前5个,连续后3个) 注意概率的全取性

1.0-1分布B(1,p)非黑即白

2二项分布X-B(n,p)投篮球模型

3.几何分布X-G(P)首中即停

4.超几何分布(不放回古典抽样)

5.泊松分布

6.指数分布密度:(x>0)        函数:

7.均匀分布

8.正态分布 化标准Φ

3.多维随机变量及其分布  整体思想画图法和定义法

联合分布

原则是画图法与定义法结合(等于题型按左右1减右无1减再是画图法原则定限定义法求解,不等于题型按画图法原则定限定义法求解)

边缘分布

离散

求谁谁不变，其他变

条件概率分布：

连续

求谁谁不变，其他变,画图法定限

独立性

X,Y<=>F(x,y)= 多维随机变量注意点:1.全取性2.定义法进行全取3.三种题型(离离,离连,连连)

重要题型

Z=形式.三种题型(离离,离连(p(x<z)),连非(z=全概率公式))  化为先y=kx再y=k(x-z)的形式进行移动,移动时注意图形类型变动     注意:U=min{x,y}和V=max{x,y}的原则是小化大和大化小

两大分布

均匀

区域面积的倒数

原则法之原则:画图确定从左至右,从下至上

正态

aX+bY仍然是正态分布且是独立的

独立就是不相关，线性组合仍然是正态分布

4.数字特征  把概率函数化为概率密度定义法

期望(反应平均程度)

离散

一维:

多维:

连续

一维:

多维:

方差(反应个体差异)

离散

公式法性质：

连续

思路陷进:1.捆绑法(二项分部)2.p(X<=x)定义法3.概率密度4.可拆性5.cov(x,常数)=0为其独立

性质 （注意独立不一定相关,但正态分布独立就不相关）

期望：Ea=a,  E(EX)=EX，E(aX+bY)=aE(X)+b(EY), EXY=EXEY(X和Y独立)

方差Da=,0D(EX)=0,D(DX)=0,, ,

协方差定义法

离散：

连续：

协方差公式法

Cov(X,Y)=EXY-EXEY(注意协方差等于0的时候)

Cov(X,X)=DX

常见期望与方差(注意正态分布是偶函数)

x～B(n,p)

X～π(λ)

X～G(P)

X～U(a,b)

X～E(λ)

正态分布

期望

np

λ

1/p

a+b/2

1/λ

u

方差

npq

λ

q/(p的平方)

(b-a)的平方/12

1/λ的平方

ρ的平方

协方差性质

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)

Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(可拆性)

大数定理

1.切比雪夫(独立且有上界)(方差求)

2.辛钦(独立同分布)(期望求)

中心极限定理

列维-林德伯格(独立同分布)  (实质n个概率的正态标准化)

拉普拉斯(二项分布以正态分布为极限分布 ) (实质n个概率的正态标准化)

5.数理统计  整体思想定义法和性质法

统计量

样本均值; 2.样本方差(其中S是样本标准差) 3.k阶原点矩

四大分布

期望是n和方差是2n

正态下常用分布

统计量数字特征

主要用到独立性质与可拆性质以及协方差,方和期望等等性质

点估计与评价标准

1.矩估计(三步骤:1.取样2.求EX3.令EX=X)

2.最大似然估计(四步骤:1.取积2.化对数3.求导4.令其为0)

假设检验(置信区间)

 

高数  一.极限