POJ 2353 Ministry

　　题目链接：http://poj.org/problem?id=2353

　　题目要求的是这么一条路径：这条路径上所有数字的和最小，路径的走向只能向上、向左和向右。

　　动态规划题，到达某个房间的当前值与其下方、左方和右方三个房间有关，那么，可以推出转移方程为：

　　dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + sum[j][k])  （sum[j][k]为当前楼层从房间k到j的花费）

　　对于上述方程，因为对于同一层楼的每一房间都枚举了其他所有房间，所以其复杂度为O(m*n*n)，算法超时。

　　如果思考再深入一点点，就会发现，如果最优路径经过某层楼编号在区间[a, b]的房间，那么区间[a, b]之间房间的最优花费都来自同一个方向，拿原题的图来说：

　　

　　如红色标记为最优路径，那么，对于第二层来说，房间1的最小值从房间2传过来，房间2的最小值又是从房间3传过来的，传递的方向是一致的，得到下面这条转移方程：

　　dp[i][j] = a[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i][j+1])

　　当程序到达某一层楼时，先记录下从楼下传来的值，然后只需要向左扫一遍，再向右扫一遍记录最小值就行了，总复杂度O(m*n)。这个做法有一个很美妙的名字，叫“双向DP”。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 100 + 5;
const int maxm = 500 + 5;

int a[maxn][maxm];
int dp[maxn][maxm];
int id[maxn][maxm];

int main()
{
    int n, m;
    while(scanf("%d%d", &m, &n) == 2)
    {
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                scanf("%d", &a[i][j]);
        for(int i = m; i >= 1; i--)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)  // 楼层传递
            {
                dp[i][j] = dp[i+1][j] + a[i][j];
                id[i][j] = j;
            }
            
            for(int j = 2; j <= n; j++)   // 向右DP
            {
                if(dp[i][j-1] + a[i][j] < dp[i][j])
                {
                    id[i][j] = id[i][j-1];
                    dp[i][j] = dp[i][j-1] + a[i][j];
                }
            }
            
            for(int j = n-1; j >= 1; j--)  // 向左DP
            {
                if(dp[i][j+1] + a[i][j] < dp[i][j])
                {
                    id[i][j] = id[i][j+1];
                    dp[i][j] = dp[i][j+1] + a[i][j];
                }
            }
        }
        int ans = 0x3fffffff;
        int c, r;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if(dp[1][i] < ans)
                ans = dp[1][i], r = 1, c = i;
        }
        for(int i = 1; i <= m; i++)        // 打印路径
        {
            int tmp = id[i][c];
            if(tmp >= c)
            {
                for(int i = c; i <= tmp; i++)
                    printf("%d\n", i);
            }
            else if(tmp < c)
                for(int i = c; i >= tmp; i--)
                    printf("%d\n", i);

            c = id[i][c];
        }
    }
    return 0;
}