POJ2891 Strange Way to Express Integers

  原题传送:http://poj.org/problem?id=2891

  求线性同余方程组。

  我对线性同余方程组的求解思路是这样的:

  假设有同余方程组:

    x ≡ r1 (mod a1) (1)

    x ≡ r2 (mod a2) (2)

  此方程组可转化为:

    x ≡ a1 * t + r1  (3)

    x ≡ a2 * u + r2     (4)

  由(3)、(4)式容易得到 a1 * t + r1 = a2 * u + r2,运用扩展欧几里得求解二元一次方程可得一个解 t = x0,设d = gcd(a1, a2),m0 = a2 / d,那么 t 的剩余系为:x0 + m0,x0 + 2 * m0,…… ,x0 + (d - 1) * m0,那么,归纳为:

    t ≡ x0 (mod m0)

  也就是

    t = m0 * u + x0  (5)

  把(5)式代入(3)式得到

     x = a1 * (m0 * u + x0) + r1

  则 x = a1 * m0 * u + a1 * x0 + r1 

  好了,令r3 = a1 * x0 + r1,a3 = a1 * m0 * u,将上式换成下面的样子:

    x ≡ r3 (mod a3)

  这就是(1)、(2)式合并后的式子了,方程组有多条式子,同样的方式一步一步合并下去得到最终的 r 就是所求。

View Code
 1 #include <stdio.h>
 2 #define LL long long
 3 
 4 void exgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
 5 {
 6     if(b == 0)
 7         x = 1, y = 0, d = a;
 8     else
 9         exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= x * (a / b);
10 }
11 
12 int main()
13 {
14     LL n, i, a1, r1, a2, r2, a, b, c, d, x0, y0;
15     while(scanf("%lld", &n) != EOF)
16     {
17         bool flag = true;
18         scanf("%lld%lld", &a1, &r1);
19         for(i = 1; i < n; i ++)
20         {
21             scanf("%lld%lld", &a2, &r2);
22             a = a1, b = a2, c = r2 - r1;
23             exgcd(a, b, d, x0, y0);
24             if(c % d != 0)
25                 flag = false;
26             LL t = b / d;
27             x0 = (x0 * (c / d) % t + t) % t;
28             r1 = a1 * x0 + r1;
29             a1 = a1 * t;
30         }
31         if(!flag)
32             puts("-1");
33         else
34             printf("%lld\n", r1);
35     }
36     return 0;
37 }

 

    

  

posted @ 2012-09-22 11:01  芒果布丁  阅读(184)  评论(0编辑  收藏  举报