高效生成所有的排列
这方面的一般算法是递归，可是递归的效率略坑。另外一个经典的算法是next permutation，即从右边开始找到第一个非增序（从右到左）的最短序列，然后将这个序列最左端的数调换为递增序中第一个比他大的数，然后将右端排序为降序（从右到左），这样就得到了比当前排列刚刚好大一点的新的排列。如此往复就可以生成所有的排列，初始的是1234...n，最后是n....4321。每次生成的过程中都需要扫描尾端得到最短序列，然后二分查找第一个比他大的数，然后替换，然后剩下的重排序（其实重排序只需要将替换之后的排列逆序就可以了）。可以看出每次生成都需要交换大于等于两个位置的数，平摊下来代价仍然很大。下文所说的生成全排列的算法，每次生成一个新的排列都只需要交换两个相邻的数，因此效率非常高。
首先，我们给出一些相关的定义。
每个生成的排列，对于这个排列中的每一个数，我们都有一个标记，代表它可以移动的方向。<号代表向左移动，>号代表向右移动。我们把这些箭头直接标在每个数字的上方，初始状态的1234...n，而且每一个数的方向都是向左。如果某个数比他箭头所指方向的相邻的数大，则我们把这个数作为可以活动的。如果箭头所指方向没有数或者比当前数小，则这个数则是不活动的。然后我们重复如下过程，每次找出最大的可活动的数，按照箭头指示将他与箭头所指相邻方向的数交换，如果当前活动的数不是n,则将不小于当前数的所有数的方向取反。如此往复，直到无法找到可以活动的数为止。
下图中代表的就是小规模下的生成过程，n分别等于2和3.
下面来证明该方法的确生成了所有的排列，对此我们采取归纳法。
首先我们可以看出对于1，2，3的时候都是成立的，其实对于1成立已经足够了。
假设对于n成立，考虑n+1的情况。
刚开始的时候我们移动n+1这个数，当这个数无法移动的时候，他在最左边，已经移动了n+1个位置。此时，这个数无法移动，然后我们开始启动小于n+1的数的移动，而这个移动方案刚好与生成n个数的排列的第一部移动方案一模一样。当移动n这个数之后，我们需要重新移动n+1这个数，因为这个数的方向已经反向了，最后移动到了最右端，共n+1个位置。然后又启动了生成n个数的全排列的第二部移动方案，如此往复。因此对于这个方案在n的时候生成的每个排列，在n+1的时候都有相对应的n+1个排列，只是n+1这个数的位置不同。由n的时候生成了n!个不同的排列，因此n+1的时候也生成了(n+1)!个不同的排列。因此，这个方案的确生成了所有的n的排列。
下面来讨论效率问题，我们每次要交换一个数的时候，都需要找到当前可移动的最大的数，如果用朴素的方法去找这个数的话，我们需要用O(n)的时间去找这个数，总共的时间花费为n*n!。事实上这个是有规律可循的，我们先看下简单情况：当n=2的时候活动序列是2;当n=3时，活动序列为33233;当n=4的时候，活动序列为44434443444244434443444。
我们开一个次数数组A[n],初始时A[k]=k-1;每次我们从这个数组中从右到左寻找第一个A[i]!=0的i，这个数就是每次我们需要移动的数。移动完之后将A[i]减去1，并把A[i+1],A[i+2]...A[n]恢复到他们的初始值。如此往复，直到找不到这个i。然后整个流程结束，由此我们得出对于i这个数，我们把这个数当作移动的数共有(i-1)*(i-1)!次，也即是i!-(i-1)!次，而每次为了得到i这个数，我们需要从右向左寻找n-i+1次，所以总共我们寻找了2*（1！+2！+....n!)次，比上述的n*n!次减少了很多。这里我们另外开一个位置数组，b[n],其中b[i]的值代表的是i这个数在当前排列中所在的位置，有了这个数组我们就好移动数了。因此每次交换两个相邻位置的数的时候，我们在交换上所花的时间为常数：交换相邻的两个数时间为3，交换相邻两个数的方向时间为3，交换B[n]这个位置索引时间也是3。因此最终的时间花费约为11*n!。
具体代码如下。
1 #include <stdio.h> 2 #include <malloc.h> 3 #define MAX 6 4 int for_out[MAX];//生成的排列数组 5 int arrow[MAX];//方向数组 6 int index[MAX];//次数数组 7 int position[MAX];//位置数组 8 int sum=0; 9 10 void out_put()//每次都输出一个排列 11 { 12 int for_j; 13 char for_k; 14 for(for_j=0;for_j<MAX;for_j++) 15 { 16 for_k=*(arrow+*(for_out+for_j))?'>':'<'; 17 printf("%c ",for_k); 18 } 19 printf("\n"); 20 for(for_j=0;for_j<MAX;for_j++) 21 { 22 printf("%d ",*(for_out+for_j)); 23 } 24 printf("\n"); 25 } 26 27 void swap(int cursor) 28 { 29 int direction,for_j,temp; 30 direction=arrow[cursor]?1:-1; 31 direction=position[cursor]+direction; 32 for_j=for_out[direction]; 33 for_out[direction]=cursor; 34 for_out[position[cursor]]=for_j; 35 temp=position[cursor]; 36 position[cursor]=position[for_j]; 37 position[for_j]=temp; 38 } 39 40 41 int main() 42 { 43 44 int for_i,cursor; 45 for(for_i=0;for_i<MAX;for_i++)//初始化方向 46 { 47 arrow[for_i]=0; 48 } 49 for(for_i=0;for_i<MAX;for_i++)//初始化输出 50 { 51 for_out[for_i]=for_i; 52 index[for_i]=for_i; 53 position[for_i]=for_i; 54 } 55 cursor=MAX-1; 56 while(1) 57 { 58 if(index[cursor]>0) 59 { 60 if(cursor==MAX-1) 61 { 62 swap(cursor); 63 index[cursor]--; 64 out_put(); 65 } 66 else 67 { 68 swap(cursor); 69 for(for_i=cursor;for_i<MAX;for_i++) 70 { 71 arrow[for_i]=1-arrow[for_i]; 72 } 73 out_put(); 74 } 75 } 76 else 77 { 78 while(cursor>0&&index[cursor]==0) 79 { 80 cursor--; 81 } 82 if(cursor==0) 83 { 84 out_put(); 85 printf("%d\n",sum); 86 return 1; 87 } 88 else 89 { 90 swap(cursor); 91 index[cursor]--; 92 for(for_i=cursor+1;for_i<MAX;for_i++) 93 { 94 index[for_i]=for_i; 95 arrow[for_i]=1-arrow[for_i]; 96 } 97 cursor=MAX-1; 98 out_put(); 99 } 100 } 101 } 102 } 103 104 105 106
