[HNOI 2012]三角形覆盖问题
Description
.jpg)
Input
输入文件第一行为一个正整数N，表示三角形的个数。接下来的 N
行每行有用空格隔开的三个非负整数， x, y , d，描述一个三角
形的顶点坐标，分别为
( x, y), (x + d, y), ( x, y+d)，
其中 x, y, d 满足0≤ x, y, d≤1000000。
对于50%的数据，1≤ N≤500；
100%的数据，1≤N≤10000。
Output
仅包含一行，为一个实数 S ，表示所有三角形所覆盖的总面积，输出恰
好保留一位小数。输入数据保证 S≤2^31 。
Sample Input
1 1 4
2 0 2
3 2 2
Sample Output
题解：
将所有三角形按照底边的y坐标升序排序，然后用一根扫描线，从最下面的三角形的底边开始向上扫，并时刻维护sum[]数组和len，sum[i]=第i格上覆盖的三角形个数（注意是第i格而不是第i个点！第i个点和第i+1个点之间的那一格就是第i格），len=扫描线上被覆盖的部分的总长度(以下简称有效长度)，显然移动完一次扫描线后，答案中增加的面积=$$\frac{上次扫描线的有效长度+本次扫描线的有效长度}{2}$$
那么实际上整个题要做的就是从最下面不断地向上移动扫描线，用一个栈维护覆盖在扫描线上面的三角形，每移动一次扫描线，先维护一次有效长度和sum[]数组，但是这次维护只是在原有的三角形基础上减少，并不增加三角形（也就是说这次维护是不添加新相交的三角形的，有效长度只会减少，不会增加）！在答案中添加面积后，再对扫描线上的有效长度和sum[]数组这两个信息进行第二次维护，这次会加入移动扫描线后新相交的三角形。如此反复便可得到答案。
但是这样做还是会TLE掉最后两个点，因此我们需要再想办法优化，可以发现，某些小三角形是被大三角形所包裹起来的（如下图中红叉的那个紫色三角形，虚线是扫描线，箭头是扫描线的移动方向），显然这样的小三角形都可以忽略不计，因此可以大大减少数据规模。
那么我们可以标记每个三角形是否已经被删除了，在每次扫描线移动后，在加入新的三角形的时候，看这个三角形是否包裹了原来的三角形，以及这个三角形是否被原来的三角形所包裹。若这个三角形包裹了原来的三角形，就把原来的那个三角形删掉，如此下去，如果这个三角形并没有被原来扫描线上的三角形包裹，那么就把它加入扫描线上，并更新对应于扫描线上的区间的格子的信息。
要做到轻松地删除三角形，并通过这样的优化减少数据规模的话，就需要用一个双向链表来维护当前所有还没被删掉的三角形，当然也可以用splay来维护的啦，速度会快很多。
1 //Never forget why you start 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstdlib> 5 #include<cstring> 6 #include<cmath> 7 #include<algorithm> 8 using namespace std; 9 int n,m; 10 struct triangle { 11 int x,y,d,l,r;//横坐标，纵坐标，直角边长，左端点横坐标，右端点横坐标 12 friend bool operator > (const triangle a,const triangle b) { 13 return a.l<=b.l&&b.r<=a.r; 14 }//定义一个三角形a左右两端点如果完全包含另外一个三角形b，则a>b 15 } a[10005]; 16 int Next[10005],pre[10005],vis[10005],head,mmax,mmin,len,lastlen,sum[2000005],top,stack[10005]; 17 //Next[]表示双向链表的下一个数 18 //pre[]表示双向链表的上一个数 19 //vis[]表示是否在双向链表中 20 //head表示双向链表的第一个点 21 double ans; 22 void delet(int x) { 23 vis[x]=0; 24 if(head==x)head=Next[x]; 25 pre[Next[x]]=pre[x]; 26 Next[pre[x]]=Next[x]; 27 }//从双向链表中删除一个数 28 bool cmp(triangle a,triangle b) { 29 if(a.y==b.y)return a.l<=b.l&&b.r<=a.r; 30 else return a.y<b.y; 31 }//比较函数，先按y从小到大排序，再使前面的三角形完全包含后面的三角形 32 int main() { 33 int i,j,k,l; 34 scanf("%d",&n); 35 for(i=1; i<=n; i++) { 36 scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].d); 37 a[i].r=a[i].x+a[i].d; 38 a[i].l=a[i].x; 39 vis[i]=1; 40 Next[i]=i+1; 41 pre[i]=i-1; 42 mmin=min(mmin,a[i].y); 43 mmax=max(mmax,a[i].y+a[i].d); 44 }//输入，初始化双向链表 45 sort(a+1,a+n+1,cmp);//排序 46 head=1; 47 for(i=head; i<=n&&a[i].y==mmin; i=Next[i]) { 48 for(j=a[i].l; j<a[i].r; j++) { 49 if(!sum[j])len++; 50 sum[j]++; 51 } 52 }//统计最开始被三角形覆盖的长度 53 for(i=mmin+1; i<=mmax; i++) { 54 lastlen=len;//lastlen表示层被覆盖的长度，len表示这一层备覆盖的长度 55 top=0;//初始化栈 56 for(j=head; j<=n&&a[j].y<i; j=Next[j]) {//遍历上一层已经计算过的三角形 57 a[j].r--;//因为向上挪了一层，就相当于宽度减小了1 58 if(a[j].r<a[j].l)delet(j);//如果这个三角形完全消失，则从双向链表中删去 59 else { 60 if(sum[a[j].r]==1)len--;//判断r--后是否对len的大小造成影响 61 sum[a[j].r]--; 62 stack[++top]=j;//将这个三角形压入栈中（这个三角形覆盖了一部分长度） 63 } 64 } 65 ans+=(double)(lastlen+len)/2.0;//计算答案 66 for(j=head; j<=n&&a[j].y<=i; j=Next[j]) { 67 if(a[j].y==i) {//遍历所有覆盖在当前层的三角形 68 for(k=1; k<=top; k++) {//遍历所有在栈中的三角形， 69 if(vis[stack[k]]==0)continue; 70 if(a[stack[k]]>a[j]) {//判断当前三角形是非已被栈中某个三角形覆盖 71 delet(j);//如果已经覆盖，就在双向链表中将这个三角形删除 72 break; 73 } 74 if(a[j]>a[stack[k]]) { 75 delet(stack[k]); 76 for(l=a[stack[k]].l; l<a[stack[k]].r; l++) { 77 if(sum[l]==1)len--; 78 sum[l]--; 79 }//如果栈中三角形被当前三角形覆盖，就删除栈中三角形 80 } 81 } 82 if(k==top+1) {//如果所有栈中三角形都无法将当前三角形覆盖，就加入当前三角形 83 for(l=a[j].l; l<a[j].r; l++) { 84 if(!sum[l])len++; 85 sum[l]++; 86 } 87 } 88 } 89 } 90 } 91 printf("%.1lf\n",ans); 92 return 0; 93 }
