DP斜率优化学习笔记
斜率优化
首先，可以进行斜率优化的DP方程式一般式为$dp[i]=\max_{j=1}^{i-1}/\min_{j=1}^{i-1}\{a(i)*x(j)+b(i)*y(j)\}$
其中$a(j)$和$b(j)$都是关于$j$的函数，在$O(1)$时间内可以计算得出
将方程式进行变形
$$dp[i]=a(i)*x(j)+b(i)*y(j)$$
$$dp[i]-a(i)*x(j)=b(i)*y(j)$$
$$y(j)=-\frac{a(i)}{b(i)}x(j)+\frac{dp[i]}{b(i)}$$
我们可以称$y=-\frac{a(i)}{b(i)}x+\frac{dp[i]}{b(i)}$为$i$的特征直线
那么对于$i$这个决策点来说，在$i$之前所有决策点$j$($j<i$)可以看作一个二维平面上的点，横坐标为$x(j)$，纵坐标为$y(j)$，那么i在寻找最优决策点的过程就是用i的特征直线去截平面上的每一个点，求出截距，找到最大/最小的$dp[i]$
但如果直接去做复杂度为$O(n^{2})$
那么可以通过维护在平面上维护凸包（根据具体的斜率正负和$b(i)$的正负决定维护上凸包还是下凸包），直线在平移过程中切到凸包的第一个点就是当前i的最优决策点，那么时间复杂度均摊$O(n)$
以$-\frac{a(i)}{b(i)}>0$，$b(i)>0$，$dp$取最小值为例
直线$EF$不断从截距无限小向上平移，直到截到凸包上的点
那么需要做的是维护凸包
1.若$x(i)$单调，斜率$-\frac{a(i)}{b(i)}$单调
所以在平面上的点是按顺序依次排列，去截的特征直线的斜率不断增加或减少
可以发现特征直线截到凸包上的第一个点记为$p$，那么$p$左边的点和$p$的直线的斜率$k_{1}$，$p$右边的点和$p$的直线的斜率$k_{2}$，特征直线的斜率一定介于$k_{1}$和$k_{2}$之间
那么可以利用单调队列来维护平面上的点的凸包，然后在单调队列队首不断维护当前特征直线的斜率，找到第一个大于或小于（根据凸包是上凸包还是下凸包决定）的决策点
时间复杂度$O(n)$
2.若$x(i)$单调，斜率不单调
仍然维护凸包，但此时特征直线的斜率没有规律，利用上面的结论可以二分凸包上两点的斜率，来找到第一个切到的点
时间复杂度$O(nlogn)$
3.若$x(i)$不单调，斜率不单调
对无规律的三个维度进行CDQ分治
具体见货币兑换的题解
#include <bits/stdc++.h> #define min(a,b) (((a)<(b))?(a):(b)) #define max(a,b) (((a)>(b))?(a):(b)) #define eps 1e-9 using namespace std; const int N=100100; int n,h,t,q[N]; double s,dp[N]; struct node { double a,b,r,k,x,y; int id; }sh[N]; node p[N]; bool cmp(node a,node b) { return a.k>b.k; } double slope(int i,int j) { if (sh[j].x==sh[i].x) return 1e9; return (sh[j].y-sh[i].y)/(sh[j].x-sh[i].x); } void cdq(int l,int r) { if (l==r) { dp[l]=max(dp[l],dp[l-1]); sh[l].x=sh[l].r*dp[l]/(sh[l].a*sh[l].r+sh[l].b); sh[l].y=dp[l]/(sh[l].a*sh[l].r+sh[l].b); return; } int mid=(l+r)>>1,tl=l-1,tr=mid; for (int i=l;i<=r;++i) { if (sh[i].id<=mid) p[++tl]=sh[i]; else p[++tr]=sh[i]; } for (int i=l;i<=r;i++) sh[i]=p[i]; cdq(l,mid); h=0;t=-1; for (int i=l;i<=mid;++i) { while (h<t && slope(q[t],q[t-1])<slope(q[t],i)) t--; q[++t]=i; } for (int i=mid+1;i<=r;++i) { while (h<t && sh[i].k<slope(q[h],q[h+1])) h++; int j=q[h]; dp[sh[i].id]=max(dp[sh[i].id],sh[i].a*sh[j].x+sh[i].b*sh[j].y); } cdq(mid+1,r); tl=l;tr=mid+1; int cnt=l-1; while (tl<=mid && tr<=r) { if (sh[tl].x-sh[tr].x<eps) p[++cnt]=sh[tl],tl++; else p[++cnt]=sh[tr],tr++; } for (int i=tl;i<=mid;++i) p[++cnt]=sh[i]; for (int i=tr;i<=r;++i) p[++cnt]=sh[i]; for (int i=l;i<=r;++i) sh[i]=p[i]; } int main() { scanf("%d%lf",&n,&s); for (int i=1;i<=n;i++) { scanf("%lf%lf%lf",&sh[i].a,&sh[i].b,&sh[i].r); sh[i].k=-sh[i].a/sh[i].b;sh[i].id=i; } sort(sh+1,sh+1+n,cmp); dp[0]=s; cdq(1,n); printf("%.3lf\n",dp[n]); }
时间复杂度$O(nlogn)$
若在将序列上的问题转化到树上则利用点分治见购票
#include <bits/stdc++.h> #define inf 1e18 #define int long long #define re register using namespace std; const int N=2*1e5+100; int n,T,sum[N],dp[N]; int h,t,q[N],sz[N],root,vi[N]; int tot,first[N],nxt[N*2],point[N*2]; int son[N],w; struct node { int fa,s,p,q,l; }sh[N]; void add_edge(int x,int y) { tot++; nxt[tot]=first[x]; first[x]=tot; point[tot]=y; } bool cmp(int a,int b) { return sum[a]-sh[a].l>sum[b]-sh[b].l; } double slope(int i,int j) { return 1.0*(dp[j]-dp[i])/(1.0*(sum[j]-sum[i])); } int find(int l,int r,double k) { if (r<l) return q[h]; if (slope(q[l],q[l+1])>=k) return q[l]; while (l<r) { int mid=l+((r-l+1)>>1); if (slope(q[mid],q[mid+1])<k) l=mid; else r=mid-1; } return q[l+1]; } void dfs(int x) { sz[x]=1; for (re int i=first[x];i!=-1;i=nxt[i]) { int u=point[i]; if (u==sh[x].fa) continue; sum[u]=sum[x]+sh[u].s; dfs(u); sz[x]+=sz[u]; } } void dfs_sz(int x,int fa) { sz[x]=1; for (re int i=first[x];i!=-1;i=nxt[i]) { int u=point[i]; if (u==fa || vi[u]) continue; dfs_sz(u,x); sz[x]+=sz[u]; } } void dfs_rt(int x,int fa,int tot) { bool bl=1; for (re int i=first[x];i!=-1;i=nxt[i]) { int u=point[i]; if (u==fa || vi[u]) continue; dfs_rt(u,x,tot); if (sz[u]>tot/2) bl=0; } if (tot-sz[x]>tot/2) bl=0; if (bl) root=x; } void dfs_insert(int x,int fa) { son[++w]=x; for (re int i=first[x];i!=-1;i=nxt[i]) { int u=point[i]; if (u==fa || vi[u]) continue; dfs_insert(u,x); } } void divide(int x) { vi[x]=1; vector <int> father; father.push_back(x); if (sh[x].fa && !vi[sh[x].fa]) { for (int i=sh[x].fa;i!=0 && !vi[i];i=sh[i].fa) father.push_back(i); dfs_sz(sh[x].fa,x); dfs_rt(sh[x].fa,x,sz[sh[x].fa]); divide(root); for (re int i=1;i<(int)father.size();++i) if (sum[father[i]]>=sum[x]-sh[x].l) dp[x]=min(dp[x],dp[father[i]]+(sum[x]-sum[father[i]])*sh[x].p+sh[x].q); } w=0; for (re int i=first[x];i!=-1;i=nxt[i]) { int u=point[i]; if (u==sh[x].fa || vi[u]) continue; dfs_insert(u,x); } sort(son+1,son+1+w,cmp); h=n+1;t=n; for (re int i=1,j=0;i<=w;++i) { int u=son[i]; while (j<(int)father.size() && sum[father[j]]>=sum[u]-sh[u].l) { while (h<t && slope(q[h],q[h+1])<slope(q[h],father[j])) h++; q[--h]=father[j]; j++; } if (h>t) continue; int pos=find(h,t-1,1.0*sh[u].p); dp[u]=min(dp[u],dp[pos]+(sum[u]-sum[pos])*sh[u].p+sh[u].q); } for (re int i=first[x];i!=-1;i=nxt[i]) { int u=point[i]; if (u==sh[x].fa || vi[u]) continue; dfs_sz(u,x); dfs_rt(u,x,sz[u]); divide(root); } } signed main() { tot=-1; memset(first,-1,sizeof(first)); memset(nxt,-1,sizeof(nxt)); scanf("%lld%lld",&n,&T); for (re int i=2;i<=n;++i) { scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&sh[i].fa,&sh[i].s,&sh[i].p,&sh[i].q,&sh[i].l); add_edge(sh[i].fa,i); add_edge(i,sh[i].fa); } sh[1].fa=0;dp[1]=0; for (re int i=2;i<=n;++i) dp[i]=inf; dfs(1); dfs_rt(1,0,sz[1]); divide(root); for (re int i=2;i<=n;++i) printf("%lld\n",dp[i]); }
