CF1303G Sum of Prefix Sums
点分治+李超树
因为题目要求的是树上所有路径，所以用点分治维护
因为在点分治的过程中相当于将树上经过当前$root$的一条路径分成了两段
那么先考虑如何计算两个数组合并后的答案
记数组$a$，$b$，求得是将$b$数组接到$a$数组的答案
其$a$,$b$的sum of prefix sums分别为$sa$，$sb$，其中$a$数组所有元素的和为$sum$，$b$数组长度为$l$
然后整合一下原来计算的式
其实对于一个数组$P$的sum of prefix sums就是
$n*p_{1}+(n-1)*p_{2}+(n-2)*p_{3}+...+2*p_{n-1}+1*p_{n}$
照着这个式子推出来，将$b$数组接到$a$数组的答案是
$sa+sb+sum*l$
然后这里可以将$sa$看做截距，$sum$看做斜率，$l$为$x$坐标，最终答案为$y$坐标
求的就是每一个$sa$为截距，$sum$为斜率的线段在某一点的最大取值
那么用李超树维护即可
要注意对于树上两个节点$u$,$v$
$u$到$v$的答案和$v$到$u$的答案是不一样的
所以要在合并子树的时候要正着扫一遍，反着扫一遍
还有如果是只有一颗子树需要特判
1 #pragma GCC optimize(2) 2 #include <bits/stdc++.h> 3 #define int long long 4 using namespace std; 5 const int N=150100; 6 int n,a[N]; 7 int sz[N],vi[N],dfn,MAX,root; 8 vector <int> e[N]; 9 struct line 10 { 11 int k,b; 12 }; 13 struct node 14 { 15 line tag; 16 int ti; 17 }sh[N*4]; 18 int cal(int x,line a) 19 { 20 return a.k*x+a.b; 21 } 22 void change(int x,int l,int r,line k) 23 { 24 if (sh[x].ti!=dfn) 25 { 26 sh[x].tag=k; 27 sh[x].ti=dfn; 28 return; 29 } 30 if (cal(l,k)>=cal(l,sh[x].tag) && cal(r,k)>=cal(r,sh[x].tag)) 31 { 32 sh[x].tag=k; 33 return; 34 } 35 if (cal(l,k)<=cal(l,sh[x].tag) && cal(r,k)<=cal(r,sh[x].tag)) 36 return; 37 int mid=(l+r)>>1; 38 if (cal(mid,k)>cal(mid,sh[x].tag)) swap(k,sh[x].tag); 39 if (cal(l,k)>cal(l,sh[x].tag)) change(x+x,l,mid,k); 40 else change(x+x+1,mid+1,r,k); 41 } 42 int query(int x,int l,int r,int wh) 43 { 44 int ans=(sh[x].ti==dfn)?cal(wh,sh[x].tag):0; 45 if (l==r) return ans; 46 int mid=(l+r)>>1; 47 if (wh<=mid) ans=max(ans,query(x+x,l,mid,wh)); 48 else ans=max(ans,query(x+x+1,mid+1,r,wh)); 49 return ans; 50 } 51 //李超树 52 void dfs_insert(int x,int fa,int de,line now) 53 { 54 now.k+=a[x]; 55 now.b+=de*a[x]; 56 change(1,1,n,now); 57 for (register int i=0;i<(int)e[x].size();i++) 58 { 59 int u=e[x][i]; 60 if (vi[u] || u==fa) continue; 61 dfs_insert(u,x,de+1,now); 62 } 63 } 64 void dfs_query(int x,int fa,int de,int sb,int s) 65 { 66 sb+=a[x]+s; 67 s+=a[x]; 68 MAX=max(MAX,query(1,1,n,de)+sb); 69 for (register int i=0;i<(int)e[x].size();i++) 70 { 71 int u=e[x][i]; 72 if (vi[u] || u==fa) continue; 73 dfs_query(u,x,de+1,sb,s); 74 } 75 } 76 void dfs_size(int x,int fa) 77 { 78 sz[x]=1; 79 for (register int i=0;i<(int)e[x].size();i++) 80 { 81 int u=e[x][i]; 82 if (vi[u] || u==fa) continue; 83 dfs_size(u,x); 84 sz[x]+=sz[u]; 85 } 86 } 87 void dfs_root(int x,int fa,int tot) 88 { 89 bool bl=1; 90 for (register int i=0;i<(int)e[x].size();i++) 91 { 92 int u=e[x][i]; 93 if (vi[u] || u==fa) continue; 94 dfs_root(u,x,tot); 95 if (sz[u]>tot/2) bl=0; 96 } 97 if (tot-sz[x]>tot/2) bl=0; 98 if (bl) root=x; 99 } 100 void dfs(int x,int fa,int de,int sa,int sb,int s) 101 { 102 sa+=de*a[x]; 103 sb+=s+a[x]; 104 s+=a[x]; 105 MAX=max(MAX,sb); 106 MAX=max(MAX,sa); 107 for (register int i=0;i<(int)e[x].size();i++) 108 { 109 int u=e[x][i]; 110 if (vi[u] || u==fa) continue; 111 dfs(u,x,de+1,sa,sb,s); 112 } 113 } 114 void divide(int x)//点分治 115 { 116 dfn++; 117 vi[x]=1; 118 int cnt=0; 119 for (register int i=0;i<(int)e[x].size();i++) 120 { 121 int u=e[x][i]; 122 if (vi[u]) continue; 123 cnt++; 124 line tmp; 125 tmp.k=tmp.b=0; 126 if (cnt!=1) dfs_query(u,x,2,a[x],a[x]); 127 dfs_insert(u,x,1,tmp); 128 } 129 bool bl=(cnt==1); 130 dfn++;cnt=0; 131 for (register int i=(int)e[x].size()-1;i>=0;i--)//反着扫描 132 { 133 int u=e[x][i]; 134 if (vi[u]) continue; 135 if (bl) dfs(u,x,2,a[x],a[x],a[x]);//只有一颗子树时的特判 136 cnt++; 137 line tmp; 138 tmp.k=tmp.b=0; 139 if (cnt!=1) dfs_query(u,x,2,a[x],a[x]); 140 dfs_insert(u,x,1,tmp); 141 } 142 for (register int i=0;i<(int)e[x].size();i++) 143 { 144 int u=e[x][i]; 145 if (vi[u]) continue; 146 dfs_size(u,x); 147 dfs_root(u,x,sz[u]); 148 divide(root); 149 } 150 } 151 signed main() 152 { 153 scanf("%lld",&n); 154 for (int i=1;i<n;i++) 155 { 156 int u,v; 157 scanf("%lld%lld",&u,&v); 158 e[u].push_back(v); 159 e[v].push_back(u); 160 } 161 for (int i=1;i<=n;i++) 162 { 163 scanf("%lld",&a[i]); 164 MAX=max(MAX,a[i]); 165 } 166 dfs_size(1,-1); 167 dfs_root(1,-1,sz[1]); 168 divide(root); 169 printf("%lld\n",MAX); 170 }
