欧拉定理
定义
如果正整数 \(n\) 和 整数 \(a\) 互质,那么就有
\[a^{\varphi \left( n \right)}\equiv 1\ \left( mod\ n \right) \]其中欧拉函数\(\varphi \left( n \right)\) 为 ”小于 \(n\) 的正整数中并且与 \(n\) 互质的数的个数“。
互质:即自然数 \(X\) 和 \(Y\) 的最大公因/约数为1 栗子:7 和 3 公约数只有1。
\( \equiv \): 同余关系。例如:\(X\) \( \equiv \) \(Y\) (mod \(n\)), 即 \(X\) mod \(n\) 和 \(Y\) mod \(n\) 的余数相同。
基础知识
1.唯一质数分解定理(Unique factorisation theorem)
任何一个正整数 \(n\) > 1 都可以唯一地分解为一组质数的乘积
其中 \(
e_1,e_2,\cdots \in N
\) ,我们称这个分解为 \(n\)的标准分解
解释:因为一个数肯定是由合数和质数构成的,合数又可以分解成质数和合数,最后递归下去就会变成质数的乘积,最后化成了质数相乘的形式。如 \(100\rightarrow 4\times 25\rightarrow 2^2\times 5^2\)
2.最大公因/约数(GCD)、最小公倍数 (LCM)、互质(Coprime)
因数:指整数 a 除以 b (b!=0) 的商正好是整数而没有余数,我们就可以说 b 是 a 的因数。
公因数:两个或多个数共同都有的因数叫做公因数.
最大公因数:两个或多个数都有的因数里最大的叫做最大公因数。
倍数:一个整数能够被另一个整数整除,这个整数就是另一整数的倍数。如同上面的因数概念,a 即为 b的倍数。
公倍数:两个或多个都有的倍数叫做公倍数。
最小公倍数:两个或多个数都有的倍数里最小的叫做最小公倍数。
互质:对于整数 \(a,b\) 我们记 \( gcd\left( a,b \right) \) 和 \( lcm\left( a,b \right) \) 为 \(a,b\) 的最大公因数和最小公倍数,有时候我们会直接把他们简写为 \( \left( a,b \right) \) 和 \( \left[ a,b \right] \) 。如果 \( gcd\left( a,b \right) =1 \) ,我们称 \(a,b\) 互质,也就是说他们没有任何共同的质因数。Attention: 1不为质数/素数。
基本性质
- \( gcd\left( a,b \right) =gcd\left( a\pm b,b \right) \)
- \( gcd\left( na,nb \right) =ngcd\left( a,b \right) \)
- \( gcd\left( a,b \right) =\frac{a\cdot b}{lcm\left( a,b \right)} \)
- 裴蜀定理:存在整数 \(x,y\) 使得 \( gcd\left( a,b \right) =ax+by \)
3.同余关系(Congruence relations)
整数 a 和 b 除以 n 的余数相同,则称 a, b 模 n 同于,记作
如果对于整数 \( a_1,a_2,b_1,b_2 \)
那么可以它们进行相加或相减
同时也能进行相乘
综上两条性质,即如果 \(a\equiv b\ \left( mod\ n \right)\),那么
Attention: P(x) 为任意整数多项式。
这里需要注意的一点是,如果整数 \( a,b,c \) 满足
那么只有当 \(n,c\) 互质时才可以把两边的 \(c\) 直接约掉,得到 \(a\equiv b\ \left( mod\ n \right)\) ,更一般的
4.同余类(Residue class)、完全剩余系(Complete residue system)、缩剩余系(Reduced residue system)
通过一个整数模 \(n\) 的余数,我们可以把所有整数分成 \(n\) 类,记
为模 \(n\) 余 \(r\) 的同余类(也叫剩余类)。
举个例子
是模 10 余 4 的同余类
从 \( 0_n,1_n,2_n,\cdots ,\overline{\left( n-1 \right) }_n \) 中各挑出一个数就组成了一个模 \(n\) 的完全剩余系(完系) \( R_n \)
其中 \( r_0\epsilon 0_n,r_1\epsilon 1_n,r_2\epsilon 2_n,\cdots ,r_{n-1}\epsilon \overline{\left( n-1 \right) _n} \)
换言之, \(n\) 个模 \(n\) 互相不同余的整数组成一个模 \(n\) 的完全剩余系。
我们称 \( R_n=\left\{ 0,1,\cdots ,n-1 \right\} \) 为模 \(n\)的最小非负完全剩余系(最小非负完系)。
取一个模 \(n\) 的完全剩余系 \( R_n \) ,取出里面所有和 \(n\) 互质的数,这些数组成一个模 \(n\) 的缩剩余系(缩系),记为 \( \varPhi _n \)
其中 \( \varphi \left( n \right) \) 是序言里提到的欧拉函数,代表「小于 \(n\) 的正整数中和 \(n\) 互质的数」的个数。
栗子: 假设\( R_6=\left\{ 36_0,7_1,14_2,15_3,22_4,23_5 \right\} \) 为模6的完全剩余系,下标为余数,从里面找出所有和 6 互质的数,组成一个 模 6 的缩剩余系 \( \varPhi _6=\left\{ 7_1,23_5 \right\} \)。我们可以发现1 和 5 也刚好是 \( \varphi \left( 6 \right) =2 \) 结果中的两个与其互质的数。
注意,因为 \( gcd\left( c_i,n \right) =gcd\left( c_i+n,n \right) =1 \) ,每一个模 \(n\) 的缩剩余系有相同数量的元素(缩剩余系中的每一个数所属的同余类是确定的,所以总共有确定的 $\varphi \left( n \right) $ 个同余类)
如果缩剩余系 \(\varPhi _n=\left\{ c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)} \right\}\) 满足 \( 1\le c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)}\le n-1 \) ,那么称其为模 \(n\) 的最小正缩剩余系(最小正缩系)。
5.欧拉函数(Euler's totient function)
对于正整数 \(n\) , $\varphi \left( n \right) $代表「小于 \(n\) 的正整数中和 \(n\) 互质的数」的个数,这个函数被称为欧拉函数;欧拉还告诉我们
其中 \(p\) 取到 \(n\) 的所有质因数
所以我们可以很方便的计算一个正整数欧拉函数的值(根据唯一质数分解定理),比如
欧拉定理的证明
考虑模 \(n\) 的最小正缩系
已知 \( gcd\left( a,n \right) =1 \) 我们在 \( \varPhi _n \) 的每一个元素前面都乘一个 \(a\)
利用反证法可以证明 \( a\varPhi _n \) 也是一个模 \(n\) 的缩系(其元素的同余类的顺序有可能会改变,但是这并没有任何影响),假设
其中 \( i\ne j \) ,因为 \(a,n\) 互质可以将两边消去 \(a\),那么就得到
这是不可能的,因为 \( \varPhi _n \) 中的元素互相模 \(n\) 不同余,矛盾啦!
接下来的思路就比较清晰了,因为 \( \varPhi _n \) 和 \( a\varPhi _n \) 都是模 \(n\) 的缩系
显然 \( gcd\left( n,\ \prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{c_i} \right) =1 \) 所以可以两边消去它
补充说明: 因为 \(
\varPhi _n
\)为最小正缩系【{1,2,3,...,n-1}最小完全剩余系中挑选的与n互质的数组成】, 即 \(
a\Phi _n\equiv \Phi _n\left( mod\ n \right) =\Phi _n
\) 。那为什么两个缩系各自的乘积取n得模依旧相等? 例如\(
\Phi _3=\left\{ 1,2 \right\}
\) 和 \(
2\Phi _3=\left\{ 2,4 \right\}
\) 我们发现 ,\(
1\times 2\ mod\ 3=2\times 4\ mod\ 3\ =\ 2
\) 且2,8都3互质。
证毕!
计算
求正整数 \( 3^{83} \) 的最后两位数
按照定义:如果正整数 \(n\) 和 整数 \(a\) 互质,那么就有
其中欧拉函数\(\varphi \left( n \right)\) 为 ”小于 \(n\) 的正整数中并且与 \(n\) 互质的数的个数“。
a = 3, n = 100(因为取后面两位数,即mod 100), 且 3 和 100 互质,因此
参考
对这位的大神仔仔的数学小屋的文章进行了一丢丢修改,只是为了方便自己理解。