P2421 [NOI2002]荒岛野人

题目背景

原 A-B数对（增强版）参见P1102

题目描述

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。

每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。

下面四幅图描述了一个有6个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。

奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？

输入格式

第1行为一个整数N(1<=N<=15)，即野人的数目。

第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=106 )，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。

输出格式

仅包含一个数M，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且M不大于10^6。

输入输出样例

输入 #1

3
1 3 4
2 7 3
3 2 1

输出 #1

6

解题思路

　　首先，对于第i个野人和第j个野人，我们都希望Ci+k*Pi≡Cj+k*Pj(mod ans)的k>他们两个寿命最短的一个，因为就算遇到了，也死了.........

　　然后就有k*(Pi-Pj)+m*ans=Cj-Ci，就是裸的exgcd了................

题解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int c[101],p[101],l[101];
int x,y;
int exgcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int g=exgcd(b,a%b); 
    int z=x;
    x=y;
    y=z-(a/b)*y;
    return g;
}
int main()
{
    int n,maxc=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&c[i],&p[i],&l[i]);
        maxc=max(maxc,c[i]);//肯定从最大的编号开始枚举 
    }
    for(int ans=maxc;;ans++)//枚举山洞的数量 
    {
        bool flag=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=i+1;j<=n;j++)//双层循环，每两个野人一个同余方程 
            {
                int k=p[i]-p[j];
                k=(k%ans+ans)%ans;
                int g=exgcd(k,ans);//最大公约数 
                if((c[j]-c[i])%g)//如果这个解不合法 
                    continue;//说明永远也碰不着 
                x*=((c[j]-c[i])/g);//求要追上的年数 
                int mod=ans/g;
                x=(x%mod+mod)%mod;
                if(x<=min(l[i],l[j]))//如果追上了 
                {
                    flag=1;//洞穴数量不合法标记退出 
                    break;
                }
            }
            if(flag)break;
        }
        if(flag)continue;
        printf("%d",ans);//合法了就输出 
        return 0;
    }
}