【康托展开&逆展开（康康康）】
康托展开
咳咳，首先我们来看看康托展开的创始人
没错，就是这个老爷子。
他创造这个康托展开，一般用于哈希（但是我一般用的哈希字符串）在本篇随笔中，它将用来求某排列的排名。（真神奇）
康托展开实现
首先来一个柿子
看不懂没关系，我们来一个例子：
首先，有三个数（1，2，3）它的组合以及排名和康托展开值如下
| 排列组合 | 排名 | 展开值 |
| 123 | 1 | 0*2！+0*1！+0*0！ |
| 132 | 2 | 0*2！+1*1！+0*0！ |
| 213 | 3 | 1*2！+0*1！+0*0！ |
| 231 | 4 | 1*2！+1*1！+0*0！ |
| 312 | 5 | 2*2！+0*1！+0*0！ |
| 321 | 6 | 2*2！+1*1！+0*0！ |
看其中的213，我们要想计算它的排名，首先看首位比它小的排列，只有1一个，所以就是1*2！，再看首位相等的第二位，没有比1小的，就是0*1！，最后看前两位相等第三位，虽然比3小的有1，2，但是前面用了，所以是0*0！，所以展开值就是2，加上它自己就是第三位。
暴力康托
在这里，我们每比较一位，都要向后（或者向前）遍历，找到比这一位小并且还没用过的数有多少个。而这也是最基本的康托展开。
我们来看看具体的代码实现（以洛谷P5367 【模板】康托展开为例）
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define mod 998244353 3 using namespace std; 4 long long cantor[1000001]; //记录排列的每一位 5 long long fac[1000001];//阶乘 6 long long n,ans; 7 int main() 8 { 9 cin>>n; 10 for(long long i=1;i<=n;i++) 11 { 12 cin>>cantor[i];//输入排列的每一位 13 } 14 fac[1]=1; 15 for(long long i=2;i<=n;i++) 16 { 17 fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;//预处理阶乘，并且注意模一下 18 } 19 for(long long i=1;i<=n;i++) 20 { 21 long long sum=0; 22 for(long long j=i+1;j<=n;j++) 23 { 24 if(cantor[j]<cantor[i])sum++; 25 //找到比这一位小的，并且前面没用过（也可以枚举前面的，sum=i-1,比这一个大sum--就行） 26 } 27 ans=(ans+(sum*fac[n-i]))%mod;//累计康托展开值 28 } 29 cout<<ans+1;//因为是比自己小的数量，还要加上自己 30 }
嗯，但是不难发现，照着这个打出来的代码交上去，会WA一半，原因是超时了，所以我们就需要优化。
树状数组&康托
通过前面的介绍，我们发现，如果该位置的数是还没出现的数中的第k大，那么就有(k−1)*(N−i)!种方案比这个排列小，也就是总排列比这个排列小，所以我们用一个树状数组来维护在剩下的数中，这一位是第几大。
在最开始的时候，所有数都没有出现，所以我们先初始化我们的树状数组，把比自己大的数的名次全部向上升一格
1 for(int i=1;i<=n;i++) 2 { 3 update(i,1); 4 }
当每有一个数被选了，我们就要把比它大的数的名次降一格，来维护这些数在剩下的数中的排名
所以整体的代码如下
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define mod 998244353 3 using namespace std; 4 long long n,ans; 5 long long t[1000001];//树状数组 6 long long fac[1000001]; //阶乘 7 long long lowbit(long long x) 8 { 9 return x&-x; 10 } 11 void update(long long x,long long v)//区间修改 12 { 13 while(x<=n) 14 { 15 t[x]+=v; 16 x+=lowbit(x); 17 } 18 } 19 long long sum(long long x)//单点查询 20 { 21 long long p=0; 22 while(x>0) 23 { 24 p+=t[x]; 25 x-=lowbit(x); 26 } 27 return p; 28 } 29 int main() 30 { 31 cin>>n; 32 fac[0]=1; 33 for(long long i=1;i<=n;i++)//预处理，初始化 34 { 35 fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod; 36 update(i,1); 37 } 38 for(long long i=1;i<=n;i++) 39 { 40 long long a; 41 scanf("%lld",&a);//long long一定是lld 42 ans=(ans+((sum(a)-1)/*因为是名次，加上了自己，所以要减一*/*fac[n-i])%mod)%mod; 43 update(a,-1);//维护操作 44 } 45 cout<<ans+1;//输出 46 }
康托逆展开
既然有康托展开，那就有康托逆展开啊，所以我们接下来来了解了解一下康托逆展开吧。
其实康托展开就是把一个字符串映射成一个整数k，而这个k就是这个字符串排列的名次。而这个展开又是一个双射，可以给你一个字符串输出k，也可以给你n（位数）和k，让你求出这个字符串。
康托逆展开实现
类似于进制转换的思想，
例
{1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕
找出第96个数
首先用96-1得到95
用95去除4! 得到3余23
有3个数比它小的数是4
所以第一位是4
用23去除3! 得到3余5
有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以第二位是5(4在之前出现过，所以实际比5小的数是3个)
用5去除2!得到2余1
有2个数比它小的数是3，第三位是3
用1去除1!得到1余0
有1个数比它小的数是2，第二位是2
最后一个数只能是1
所以这个数是45321（摘自百度）
在上面这道例题中，就是典型的康托逆展开，不过因为n太大，所以它分别给你了遍历到每一位数时，在剩下未便利的数中有几个数比自己小，我们还是用树状数组来维护，但是这里又加上了一个二分查找的方法，代码就成形了。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int k,n,ans[1000001];//记录排列 4 int t[1000001];//树状数组 5 int lowbit(int x) 6 { 7 return x&-x; 8 } 9 void update(int x,int v)//区间修改 10 { 11 while(x<=n) 12 { 13 t[x]+=v; 14 x+=lowbit(x); 15 } 16 } 17 int sum(int x)//单点查询 18 { 19 int p=0; 20 while(x>0) 21 { 22 p+=t[x]; 23 x-=lowbit(x); 24 } 25 return p; 26 } 27 int main() 28 { 29 cin>>k; 30 while(k--)//样例个数 31 { 32 scanf("%d",&n); 33 for(int i=1;i<=n;i++) 34 { 35 update(i,1);//初始化 36 } 37 int val; 38 for(int i=1;i<=n;i++) 39 { 40 scanf("%d",&val);//一位一位的遍历 41 int l=1,r=n; 42 while(l<r)//二分查找这个数 43 { 44 int mid=(l+r)/2; 45 int q=sum(mid)-1; 46 if(q<val)l=mid+1; 47 else r=mid; 48 } 49 update(r,-1);//并实锤这个数 50 ans[i]=r;//记录 51 } 52 for(int i=1;i<n;i++) 53 { 54 printf("%d ",ans[i]);//输出控制一下格式 55 } 56 printf("%d\n",ans[n]); 57 } 58 }
展开&逆展开运用
让我们来看看这一道（变态）题CF501D Misha and Permutations Summation
这道题正好是我们上面讲到的康托展开和逆展开的一个典型运用，题目大意就是给你两个排列，让你求出两个排列名次的总和，并对这个排列的所有可能取模，最后输出这个名次代表的排列。
首先它可能脑子有问题，对于从0开始的排列，每一位加一就行了，最后输出减一即可。
首先是得到名次的操作，刚开始肯定想着直接算出排列名次，但是看看n的范围(n≤200000)
显然不行，我们就退一步，先想一想怎么得出的康托展开值
拿213做例子，它的康托展开值等于1*2！+0*1！+0*0！
我们再看看之前做逆康托展开的代码，不就是根据每个阶乘前面的数字（1,0,0）得到吗（可以用逆展开的代码试一下），所以我们就不用求出具体的排名了，只需要开一个数组（f[n]）来记录每一个阶乘的数量就可以，然后从第一位开始，一位一位的进位，但是记住f[n]可以不用管，因为它对n！取模就没了.....最后就简化成康托逆展开的模板了。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int n; 4 int a[2000001];//第一个排列 5 int b[2000001];//第二个排列 6 int f[2000001];//记录康托展开值 7 int t[2000001];//树状数组 8 int lowbit(int x) 9 { 10 return x&-x; 11 } 12 void update(int x,int v)//区间修改 13 { 14 while(x<=n) 15 { 16 t[x]+=v; 17 x+=lowbit(x); 18 } 19 } 20 int sum(int x)//单点查询 21 { 22 int ans=0; 23 while(x>0) 24 { 25 ans+=t[x]; 26 x-=lowbit(x); 27 } 28 return ans; 29 } 30 void init()//初始化树状数组 31 { 32 memset(t,0,sizeof(t)); 33 for(int i=1;i<=n;i++) 34 { 35 update(i,1); 36 } 37 } 38 int main() 39 { 40 scanf("%d",&n); 41 //记录排列，每一位加一方便计算 42 for(int i=1;i<=n;i++) 43 { 44 scanf("%d",&a[i]); 45 a[i]++; 46 } 47 for(int i=1;i<=n;i++) 48 { 49 scanf("%d",&b[i]); 50 b[i]++; 51 } 52 /*分别记录康托展开每一位的值，并把两个排列的累计起来 ， 53 因为最后一位的康托展开值一定就是0，所以没必要*/ 54 init(); 55 for(int i=1;i<n;i++) 56 { 57 int ans=sum(a[i])-1; 58 f[n-i]+=ans; 59 update(a[i],-1); 60 } 61 init(); 62 for(int i=1;i<n;i++) 63 { 64 int ans=sum(b[i])-1; 65 f[n-i]+=ans; 66 update(b[i],-1); 67 } 68 69 for(int i=1;i<n;i++)//进位操作，就像3！*4=4！一样，只操作到n-1 70 { 71 f[i+1]+=f[i]/(i+1); 72 f[i]=f[i]%(i+1); 73 } 74 //康托逆展开 75 init(); 76 for(int i=n-1;i>=1;i--)//从高到低一位一位的输出 77 { 78 int l=1,r=n,mid; 79 while(l<r) 80 { 81 mid=(l+r)/2; 82 if(sum(mid)-1<f[i])l=mid+1; 83 else r=mid; 84 } 85 cout<<r-1<<" ";//因为之前加了一，所以后面减一即可 86 update(r,-1); 87 } 88 //输出最后一位，因为只剩一个数的排名是一，其他的都被搜到了，排名没有了 89 for(int i=1;i<=n;i++) 90 { 91 if(t[i]) 92 { 93 cout<<i-1<<endl; 94 return 0; 95 } 96 } 97 }
