动态规划_备忘录法_矩阵链乘问题

目录

• 问题描述
• 完全加括号
• 最优子结构
• 最优解的递推关系
• 算法描述（伪代码）
• 结束语

问题描述

给定$n$个矩阵$\{A_1,A_2,A_3,...,A_n\}$，其中$A_i$为$P_{i-1}\times P_i$矩阵，$i = 1,...,n$，并且$A_i$与$A_{i-1}$是可乘的。由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的链乘可有许多不同的计算次序，两个矩阵$A_{i\times j}$与$A_{j\times k}$相乘的工作量为$i\times j\times k$次数乘。
给定向量$P=<P_0,P_1,...,P_n>$为$n$个矩阵的行数和列数，确定一种乘法次序，使得基本运算“数乘”的总次数最少。

完全加括号

完全加括号的矩阵链乘积可递归地定义为：

• 单个矩阵是完全加括号的
• 矩阵链乘积$A$是完全加括号的，则$A$可表示为两个完全加括号的矩阵链乘积$B$和$C$的乘积，并加括号，即$A=(BC)$

最优子结构

• 矩阵链乘$A_iA_{i+1}...A_j$简记为$A_{i...j},i\leq j$，于是矩阵链乘$A_1A_2...A_n$可记为$A_{1...n}$，完全加括号形式为$A_{1...n}=A_{1...k}A_{k+1...n},1\leq k < n$
• 矩阵连乘$A_{1...n}$的最优计算次序的计算量等于$A_{1...k}$和$A_{k+1...n}$两者的最优计算次序的计算量之和，再加上$A_{1...k}$和$A_{k+1...n}$相乘的计算量。矩阵链乘问题的最优解具有最优子结构特性。

最优解的递推关系

• 由$i$和$j$确定子问题的边界，输入$P=<P_0,P_1,...P_n>$

$$A_{i...j}=A_{i...k}A_{k+1...j},k=i,i+1,...,j-1$$

• 确定优化函数和递推方程：二维数组$m$用来保存矩阵链乘时所需的最小计算量

$$m[i][j]=\begin{cases} \min\limits_{i\leq k < j} \{m[i][k]+m[k+1][j]+P_{i-1}P_kP_j\} &\text{if } i<j \\ 0 &\text{if } i=j \end{cases}$$

• 设立标记函数：为了确定加括号的次序，设计表$s[i,j]$记录求得最优时，最后一次运算的位置，即$m[i][j]$达到最小时$k$的划分。

算法描述（伪代码）

• 迭代实现 备忘录法

MatrixChain(P,n)
	令所有m[i,j]的初值为0；
	for r <- 2 to n   do
		for i <- 1 to n-r+1  do
			j <- i+r-1;
			m[i,j] <- m[i+1,j]+P_i-1P_iP_j;
			s[i,j] = i;
			for k <- i+1 to j-1  do
				t <- m[i,k]+m[k+1,j]+P_i-1P_kP_j;
				if t < m[i,j]
					then m[i,j] <- t;
						 s[i,j] <- k;

结束语

醉后不知天在水，满船清梦压星河

作者：花城