BZOJ - 4318: OSU! (期望DP&Attention)

Description

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。 

我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子: 

一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释） 

现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。 

Input

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。 

Output

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。 

Sample Input

3 
0.5 
0.5 
0.5

Sample Output

6.0 

HINT

【样例说明】 

000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0 

N<=100000

思路：此类期望题都是单独算某一位的贡献，假设前一位的连续长度为g[i-1]，那么很明显当前位的期望长度为 g[i]=(g[i-1]+1)*p[i]；

则当前为的贡献是add=g[i]^3-g[i-1]^3=3*g[i]^2-3*g[i]+1。 这三部分分别算期望即可。

   第一部分：3*g[i]^2，就是平方的期望（不仅仅是期望的平方那么简单），令期望的平方为数组g2，则3g2[i]=3*(g2[i-1]+2*g[i-1]+1)*p[i];

   第二部分：-3*g[i]，其期望=-3*(g[i-1]+1)*p[i]

   第三部分:   1，其期望=p[i]

主要就是要注意期望的平方如何去算。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1000010;
double p[maxn],g[maxn],g2[maxn],ans;
int main()
{
    int N,i;
    scanf("%d",&N);
    for(i=1;i<=N;i++) scanf("%lf",&p[i]);
    for(i=1;i<=N;i++){
        g[i]=(g[i-1]+1)*p[i];
        g2[i]=(g2[i-1]+2*g[i-1]+1)*p[i];
        ans+=3*g2[i]-3*g[i]+p[i];
    }
    printf("%.1lf\n",ans);
    return 0;
}