51Nod 1439：互质对（用莫比乌斯来容斥）

有n个数字，a11,a22,…,ann。有一个集合，刚开始集合为空。然后有一种操作每次向集合中加入一个数字或者删除一个数字。每次操作给出一个下标x(1 ≤ x ≤ n)，如果axx已经在集合中，那么就删除axx,否则就加入axx。

问每次操作之后集合中互质的数字有多少对。

注意，集合中可以有重复的数字，两个数字不同当且仅当他们的下标不同。

比如a11=a22=1。那么经过两次操作1，2之后，集合之后存在两个1，里面有一对互质。

Input单组测试数据。 
第一行包含两个整数n 和 q (1 ≤ n, q ≤ 2 × 10^5)。表示数字的种类和查询数目。 
第二行有n个以空格分开的整数a11,a22,…,ann (1 ≤ aii ≤ 5 × 10^5),分别表示n个数字。 
接下来q行，每行一个整数x(1 ≤ x ≤ n)，表示每次操作的下标。Output对于每一个查询，输出当前集合中互质的数字有多少对。Sample Input

样例输入1
5 6
1 2 3 4 6
1
2
3
4
5
1
样例输入2
2 3
1 1
1
2
1

Sample Output

样例输出1
0
1
3
5
6
2
样例输出2
0
1
0

题意：给定一个数组，现在全部数都没有填进对于的位置上去。现在，有一些操作，或是把a[i]填到i位置，或是把a[i]从i位置取出来。问当前填进去的数列有多少个互质对。

思路：显然可以用容斥定理来做。怎么破？ 对于当前的集合（大小为N），我加一个x进去，会增加多少互质对呢？答案是N-与x不互质的个数。

对于x的所有约数去重，比如N=5；x=24。add=N-有约数2的个数-有约数3个个数+有约数4的个数+有约数6的个数+0*有约数12的个数+0*有约数24的个数。

对于它前面的符号，取决于约数的素因子factor：

           如果factor为1，它就是1；

           如果factor有平方因子，符号为0；  如12=2*2*3

           如果factor有奇数个素数，符号为-1； 如2

           如果factor有偶数个素数，符号为1；如6

所以，我们先用筛法得到每个数的约数（O(NlgN)）;

然后加一个数x，用上面的方法，求出多了多少个素数对。我们就对x的所有约数++；

反之亦然；

（不加输出优化会TLE

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=500000;
int p[maxn+10],cnt;
short int vis[maxn+10],mu[maxn+10];
void read(int &x){  //输入 
    x=0; char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
}
void Put(ll x)   //输出 
{
    if(x>9) Put(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
void prime() //筛莫比乌斯数 
{
    mu[1]=1; for(int i=2;i<=maxn;i++){
        if(!vis[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=maxn&&i*p[j]<=maxn;j++){
            vis[i*p[j]]=1; mu[i*p[j]]=-mu[i];
            if(i%p[j]==0) { mu[i*p[j]]=0; break; }
        }
    }
}
int a[200010],num[maxn+10];ll ans;
vector<int>G[maxn+10];
int main()
{
    prime();
    int N,Q,x,i,j,Max=0;
    scanf("%d%d",&N,&Q);
    for(i=1;i<=N;i++) read(a[i]),Max=max(Max,a[i]),vis[i]=0;
    for(i=1;i<=Max;i++){ //筛约数 
      for(j=i;j<=Max;j+=i)
         G[j].push_back(i);
    } 
    while(Q--){
        read(x);
        int L=G[a[x]].size();
        if(vis[x]==1){
            for(i=0;i<L;i++) num[G[a[x]][i]]--;
            for(i=0;i<L;i++) ans-=mu[G[a[x]][i]]*num[G[a[x]][i]];        
        }
        else {        
            for(i=0;i<L;i++) ans+=mu[G[a[x]][i]]*num[G[a[x]][i]];
            for(i=0;i<L;i++) num[G[a[x]][i]]++;
        }    
        vis[x]=vis[x]^1;    
        Put(ans); puts("");
    }
    return 0;
}