【动态树】初识

【参考】：我觉得写得最清楚的一个：https://oi.men.ci/link-cut-tree-notes/

https://www.cnblogs.com/flashhu/p/8324551.html

                  论文什么的太专业了我一半没耐心去看：https://wenku.baidu.com/view/75906f160b4e767f5acfcedb

【背景】：反正就是拖了很久，然后最近稍微练习了一下splay和树剖之后才有勇气去看，因为三个月前看晕了，然后就一搁着了。

                  但是最近遇到了LCT解决可以删边的并查集问题，是时候补一波了。

主要会晕的原因就是有两棵树：splay树和原树，如果博主没写清楚，或者理解不到位就可能搞晕。

现在大概看懂后理解是这样的：原树是虚拟的，用来满足我们的常识。 而真正的操作基本上都是在splay树上的，只是splay树上的操作要满足原树也成立。

                                                  所以加边、删边操作需要把节点移到splay树的根节点；同时，由于splay到根，为了满足原树的形状，需要翻转操作。

注意1：如何理解这里的一颗splay树？ ：一颗splay树是一个原树上的链。

             。这个splay的根没什么特殊的，它不一定是原树的根，把它splay到根节点只是为了“加边”和“删边”等操作。

             。这个splay的排序是根据深度的，所以“翻转”操作只需要交换左右儿子即可。

             。原树是多叉树，splay是二叉树。有人会疑惑为什么二者能互相表示呢？ 其实原树并没有记录儿子关系，只记录了父亲关系（splay树的父亲关系转化可得），但我们找X到根root的路径是没问题的（一直上找）。 而splay树则记录的父亲和儿子关系，rotate，pushdown等操作不成问题。

             。make_root（move_to_root）是针对原树，splay是针对splay树，但是操作都是在splay树上实现。

           （只要一直注意到这几点应该就不太会搞晕了）

 

注意2：由于有多棵splay树，所以不能记录root节点，而需要用isroot函数判定。

 

注意3：关于合并，一棵splay树上有一个par_path，它在根节点位置A，代表通过根节点连接到另外一棵树X，设B为X的根节点，连接后之前的根节点A就不是根节点了，所以A处没有par_path，新树的par_path在被连接的树X的根节点B处。

 

注意4：关于查找两个节点X、Y是否在同一棵树上：因为splay的根节点是不固定的，也没有代表性，所以需要找“原树”的根节点。 具体的：把Xaceess，然后splay到根，然后就可以向左边找深度第的节点，直到找到原树的根节点。

 

 注意5：统计u到v的链上的信息，比如u-v链的节点权值和。和splay求区间和以及树剖的方法不同：直接在把u移到根（原树，则u深度最小），然后aceess-v（aplsy树，则v深度最大。）然后把v节点spaly到根（形如一条只有左儿子的链），就可以直接统计了，sum[X]=val[X]+sum[left_son]。

 

其他的，凭借自己的想象力，就可以大概打出伪代码了。

accessX：常规，使X到所在的根的链成为重链，从下到上。

splayX：稍微差别，需要先pushdown。

rotateX：常规。

updateX：常规。

...‘

所以只要有splay的基础，还是不难“入门”LCT的。