Hihocder 1639 : 图书馆 （组合数+唯一分解 求最后一位）（妙）

 给定n，(n<=10^3)，然后输入n的数a[i]，（a[i]<=1e10），求ans=(a1+a2+a3...an)! / (a1!*a2!*a3!...an!) 的结果的最一位数。

适用问题，n种物品，求全排种类，结果%10。

 

猜想1，斯特林公式，斯特林公式虽然误差越来越小，但是最后一位的误差是难以消除的，虽然求位数还稳，但是求最后一位几乎不会对。

猜想2，a[]达到一定程度，答案是0，此种情况必须保证ans的2因子和5因子数都>0，小范围唯一分解，但依然有30%数据过不去。

猜想3：唯一分解，但是素数太多，而且又得具体到每一个的逆元，难以实现。

 

猜想4：将ans转化为5的倍数*非5的倍数，以及2的倍数以及非2的倍数，然后剩余定理得计解。

            即，将ans%10，改为%素数p，p=2时：ans2=ans%2；      p=5时：ans5=ans%5，然后中国剩余定理得到ans%10；

            以5为例，算出分解后5因子的个数x：令ans5=((5^x) *y)/z%5，如果x>0，则ans5%5=0；否则得到分子的y和z。 得到ans5=(y/z)% 5。

得到x的具体实现：

          以5为例，N！= (5^x)*y ，则x=N/5+N/5/5+N/5/5/5...。对于不是5的倍数的部分，以5为循环节计算。 

          坑点在于：5的倍数里面的数一定要算干净，所以要一层一层继续算系数，如：100=5*5*2，这个2是有用的，我就是这里没想到然后挂了。

   1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11...=1，2，3，4，1*5，1，2，3，4，2*5，1...  (循环节为5) = [ (24%5)^ (n/5) ]%5 * (5^x) * 1*2*3 ...（后面的123是系数）

 

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
ll a[10],ans2,ans5, x[1100],sum;
int qpow(int n,ll m,int Mod)
{
    int res=1;n%=Mod;
    while(m){
        if(m&1) res=n*res%Mod;
        n=n*n%Mod;
        m>>=1;
    } return res;
}
void get(int opt,ll x,int sig)
{
    ll tmp=x;
    if(sig==1||sig==-1){
        if(tmp){
            a[opt]+=sig*(tmp/opt);
            tmp/=opt;
        }
        if(tmp){
            get(opt,tmp,1*sig);    //5的倍数的系数不要搞忘 
            get(opt,tmp,2*sig);
        }
    }
    else{
        tmp=1;
        for(int i=1;i<opt;i++){
            tmp=tmp*i%opt;
        }
        tmp=qpow(tmp,x/opt,opt);
        for(ll i=(x/opt)*opt+1;i<=x;i++)  tmp=tmp*(i%opt)%opt;
        if(opt==2&&sig==2)  a[6]=a[6]*tmp%opt;
        if(opt==5&&sig==2)  a[7]=a[7]*tmp%opt;
        if(opt==2&&sig==-2) a[8]=a[8]*tmp%opt;
        if(opt==5&&sig==-2) a[9]=a[9]*tmp%opt;
    }
}
int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        sum=0; ans2=ans5=0;
        a[2]=a[5]=0; a[6]=a[7]=a[8]=a[9]=1;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&x[i]);
            sum+=x[i];
        }
        get(2,sum,1);    //正数表示在分子 
        get(2,sum,2);
        get(5,sum,1);   //1表示2或5的幂，可以加。  
        get(5,sum,2);   //1表示非2或5的幂。  
        for(int i=1;i<=n;i++){
            get(2,x[i],-1); //负数表示在分母 
            get(2,x[i],-2);
            get(5,x[i],-1);
            get(5,x[i],-2);
        }
        if(a[2]>0&&a[5]>0){ //下面的可以不算，但是算也花不了多少时间。 
            printf("0\n");
            continue;
        }
        
        ans2=qpow(2,a[2],2);
        ans2=ans2*a[6]%2;
        ans2=ans2*qpow(a[8],1,2)%2;
    
        ans5=qpow(5,a[5],5);
        ans5=ans5*a[7]%5;
        ans5=ans5*qpow(a[9],3,5)%5;
        
        printf("%lld\n",(5*ans2+16*ans5)%10); //5和16都是逆元算的
    } return 0;
}