HihoCoder1655 : 第K小最简真分数（[Offer收割]编程练习赛39）（唯一分解+容斥定理+二分）(不错的数学题)

描述

给一个整数N，请你求出以N为分母的最简(既约)真分数中第K小的是多少？

输入

两个整数N个K。  

对于30%的数据，1 <= N <= 1000000  

对于100%的数据，1 <= N <= 10000000000 且 1 <= K <= φ(N)。其中φ(N)是欧拉函数，也即1~N中与N互质的数的个数。

输出

一个整数表示答案的分子

样例输入

100 10

样例输出

23

思路：

显然和欧拉函数关系不大。。。开始思路已经很接近了。分解质因子，然后二分1到Mid中与分母不互质的有多少（容斥去重）。有想到唯一分解，但是没有想到最多可以分解为多少个，万一是上万呢？然而最多可以分解为两位数个质因子，假设有2，3，5，，，(n个)，则2*3*5*....*>2^n，n=10就大的不得了。

• 1到x有因子y的树的个数为x/y个。
•  容斥定理去重。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll a[2000],b[2000],tot;//a是因子乘积，b是代表奇偶。 
ll K,N,l,r,Mid,ans;
ll prim[20],cnt;
void dfs(ll x,ll y,ll num)
{
    if(y==cnt+1){
       if(x==1) return ;
       a[++tot]=x;b[tot]=num&1?1:-1;return;
    }
    dfs(x*prim[y],y+1,num+1);
    dfs(x,y+1,num);
}
void divide(ll x)
{
    ll y=x; 
    for(ll i=2;i*i<=x;i++){
        if(y%i==0) prim[++cnt]=i;
        while(y%i==0&&y) y/=i;
    }
    if(y>1) prim[++cnt]=y;//唯一分解之后的剩余，可以肯定是个质数，自己反正吧。
    dfs(1,1,0);
}
bool check(ll x)
{
    ll num=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        num+=x/a[i]*b[i];
    }
    if(x-num>=K) return true;
    return false;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&N,&K);
    divide(N);l=1;r=10000000001;
    while(l<=r){
        Mid=(l+r)>>1;
        if(check(Mid)){
            ans=Mid; r=Mid-1;
        }
        else l=Mid+1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}